تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Calcul vectoriel dans le plan

Exercice 8

On considère deux vecteurs i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} non nuls.

  1. Simplifier l’écriture vectorielle du vecteur u⃗\vec{u} défini par : u⃗=2i⃗+3(i⃗+2j⃗)−4(2i⃗+j⃗)\vec{u} = 2\vec{i} + 3(\vec{i} + 2\vec{j}) - 4(2\vec{i} + \vec{j})

  2. On considère le vecteur v⃗\vec{v} tel que : v⃗=2i⃗+j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + \vec{j}

Calculer i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

  1. Montrer que si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires alors i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} sont colinéaires.

Correction

u⃗=2i⃗+3(i⃗+2j⃗)−4(2i⃗+j⃗)=2i⃗+3i⃗+6j⃗−8i⃗−4j⃗=(2+3−8)i⃗+(6−4)j⃗=−3i⃗+2j⃗\begin{align*} \vec{u} &= 2\vec{i} + 3(\vec{i} + 2\vec{j}) - 4(2\vec{i} + \vec{j}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{i} -4 \vec{j} \\ &=(2+3-8)\vec{i}+(6-4)\vec{j} \\ &=-3\vec{i}+ 2\vec{j} \end{align*}

  1. on a : u⃗=−3i⃗+2j⃗\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j} et v⃗=2i⃗+j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + \vec{j}

    Donc on a le système :

    {−3i⃗+2j⃗=u⃗2i⃗+j⃗=v⃗\left\{ \begin{matrix} -3\vec{i}+2\vec{j} = \vec{u}\\ 2\vec{i} + \vec{j} = \vec{v} \end{matrix}\right.

    donc d’aprés la deuxiémème équation : j⃗=v⃗−2i⃗\vec{j} = \vec{v}-2\vec{i}

    en remplacant dans la première : −3i⃗+2(v⃗−2i⃗)=u⃗-3\vec{i}+2(\vec{v}-2\vec{i}) = \vec{u}

    −3i⃗+2v⃗−4i⃗=u⃗-3\vec{i}+2\vec{v}-4\vec{i} = \vec{u}
    −7i⃗=u⃗−2v⃗-7\vec{i} = \vec{u} - 2\vec{v}
    i⃗=−17u⃗+27v⃗\vec{i} =\frac{-1}7 \vec{u} + \frac{2}{7}\vec{v}

    Pour j⃗\vec{j} on a : j⃗=v⃗−2i⃗\vec{j} = \vec{v}-2\vec{i}

    donc :

    j⃗=v⃗−2i⃗=v⃗−2(−17u⃗+27v⃗)=v⃗+27u⃗−47v⃗=27u⃗−−37v⃗\begin{align*} \vec{j} &= \vec{v}-2\vec{i} \\ &=\vec{v}-2\left(\frac{-1}7 \vec{u} + \frac{2}{7}\vec{v}\right) \\ &= \vec{v}+\frac{2}7 \vec{u} - \frac{4}{7}\vec{v}\\ &= \frac{2}7 \vec{u} - \frac{-3}{7}\vec{v} \end{align*}

  2. supposons que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires donc il existe un réel λ\lambda tel que : u⃗=λv⃗\vec{u}=\lambda\vec{v}

    et on a : u⃗=−3i⃗+2j⃗\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j} et v⃗=2i⃗+j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + \vec{j}

    donc :

    −3i⃗+2j⃗=λ(2i⃗+j⃗)-3\vec{i}+2\vec{j} = \lambda(2\vec{i} + \vec{j})

    −3i⃗−2λi⃗=λj⃗−2j⃗-3\vec{i}- 2\lambda\vec{i} = \lambda\vec{j}-2\vec{j}

    −(3+2λ)i⃗=(λ−2)j⃗-(3+2\lambda)\vec{i} = (\lambda-2)\vec{j}

    Supposons que 3+2λ=03+2\lambda=0 c-à-d : λ=−32\lambda=-\frac{3}{2}

    alors (λ−2)j⃗=0⃗(\lambda-2)\vec{j}=\vec{0}

    donc λ−2=0\lambda-2=0 car j⃗\vec{j} non nul

    et donc λ=2\lambda=2 absurde

    Donc 3+2λ≠03+2\lambda\ne0

    i⃗=−λ−23+2λj⃗\vec{i} = -\frac{\lambda-2}{3+2\lambda}\vec{j}

    posons : α=−λ−23+2λ\alpha=-\frac{\lambda-2}{3+2\lambda}

    Alors : i⃗=αj⃗\vec{i} = \alpha\vec{j}

    D’où, les vecteurs i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} sont colinéaires.