Calcul vectoriel dans le plan | نون الرياضيات

تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Calcul vectoriel dans le plan

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Exercice 1

i) Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 9a$ , $AC = 6a$ et $BC = 8a$ .

Construire la figure du triangle si $a = 0,5$ .
Construire les points $E$ , $F$ et $G$ tels que :

\begin{matrix} \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CA}, \quad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \\ \text{et} \quad \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \end{matrix}

ii) Soit $ABCD$ un quadrilatère, construire les points $M$ , $N$ et $P$ tels que :

\begin{matrix} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AC} \\ \text{et } \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DA} \end{matrix}

Correction

Correction

i)

Avec $a = 0,5$ , les longueurs des côtés du triangle sont :

$AB =9a=9\times0,5= 4,5$
$AC =6a=6\times0,5= 3$
$BC = 8a=8\times0,5=4$

Etapes de construction :

Tracez un segment $AB$ de 4,5 unités.
Tracez un arc de cercle de centre $A$ et de rayon 3 unités.
Tracez un arc de cercle de centre $B$ et de rayon 4 unités.
Le point d’intersection des deux arcs est le point $C$ .
Reliez $A$ , $B$ , et $C$ pour former le triangle $ABC$ .

Construction des points $E$ , $F$ , et $G$

$E$ tel que $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CA}$ :
- $E$ est obtenu en translatant $B$ par le vecteur $\overrightarrow{CA}$ .
$F$ tel que $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ :
- $F$ est obtenu en appliquant la somme des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ à partir de $B$ .

\begin{align*} \overrightarrow{BG} &= \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA}\\ &=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\ &=\overrightarrow{CB} \end{align*}

ii) Quadrilatère $ABCD$ et construction des points $M$ , $N$ , et $P$

Pour $M$

\begin{align*} \overrightarrow{BM} &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} \\ & = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \\ & = \overrightarrow{AB} \end{align*}

Pour $N$

\begin{align*} \overrightarrow{DN} &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \\ & = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \\ & = \overrightarrow{BC} \end{align*}

Pour $P$ .

\begin{align*} \overrightarrow{DP} &= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{BA} \\ & = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB} \\ & = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB} \end{align*}