تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Calcul vectoriel dans le plan

Exercice 2

i) Soient AA,BB et CC trois points tels que : 3AB→+2AC→=0⃗3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}

  1. Montrer que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires
  2. Que peut on déduire ?

ii) on considère la figure suivante :

A C B D
  1. Ecrire CA→\overrightarrow{CA} en fonction de CB→\overrightarrow{CB}
  2. Ecrire DA→\overrightarrow{DA} en fonction de DB→\overrightarrow{DB}

  1. On sait que deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un scalaire λ\lambda tel que :

    AC→=λAB→\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}

    On a :

    3AB→+2AC→=0⃗3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}=\vec{0}

    donc

    3AB→=−2AC→3\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AC}

    Ce qui peut être écrit comme :

    AB→=−23AC→\overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}

    On voit donc que AB→\overrightarrow{AB} est un multiple scalaire de AC→\overrightarrow{AC}, ce qui implique que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

  2. Que peut-on déduire ?

    Puisque les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, cela signifie que les points AA, BB, et CC sont alignés, c’est-à-dire qu’ils appartiennent à la même droite.

    On peut donc conclure que les points AA, BB, et CC sont alignés.

ii)

  1. Les vecteurs CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} ont la même direction, des sens opposés et ∥CA→∥=2∥CB→∥\|\overrightarrow{CA}\| = 2\|\overrightarrow{CB}\|, donc CA→=−2CB→\overrightarrow{CA} = -2\overrightarrow{CB}.

  2. Les vecteurs DA→\overrightarrow{DA} et DB→\overrightarrow{DB} ont la même direction, le même sens et ∥DA→∥=2∥DB→∥\|\overrightarrow{DA}\| = 2\|\overrightarrow{DB}\|, donc DA→=2DB→\overrightarrow{DA} = 2\overrightarrow{DB}.