تمارين - TCSF & TCTF
الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية
درس :
Calcul vectoriel dans le plan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Exercice 3
Simplifier les expressions vectorielles suivantes :
A
⃗
=
2
(
u
⃗
+
5
v
⃗
)
+
3
(
u
⃗
−
v
⃗
)
;
B
⃗
=
u
⃗
+
7
(
2
u
⃗
+
v
⃗
)
−
2
(
u
⃗
−
4
v
⃗
)
\begin{matrix} \vec{A}=2\left(\vec{u}+5\vec{v}\right)+3\left(\vec{u}-\vec{v}\right) \\~;~ \\ \vec{B}=\vec{u}+7\left(2\vec{u}+\vec{v}\right)-2\left(\vec{u}-4\vec{v}\right) \end{matrix}
A
=
2
(
u
+
5
v
)
+
3
(
u
−
v
)
;
B
=
u
+
7
(
2
u
+
v
)
−
2
(
u
−
4
v
)
Soit
x
x
x
un nombre réel et soit
u
⃗
\vec{u}
u
un vecteur non nul
(
u
⃗
≠
0
⃗
)
\left(\vec{u}\neq\vec{0}\right)
(
u
=
0
)
; tels que
2
x
u
⃗
−
u
⃗
=
0
⃗
2x\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}
2
x
u
−
u
=
0
Déterminer la valeur de
x
x
x
Correction
A
⃗
=
2
(
u
⃗
+
5
v
⃗
)
+
3
(
u
⃗
−
v
⃗
)
=
2
u
⃗
+
2
(
5
v
⃗
)
+
3
u
⃗
−
3
v
⃗
=
2
u
⃗
+
10
v
⃗
+
3
u
⃗
−
3
v
⃗
=
(
2
+
3
)
u
⃗
+
(
10
−
3
)
v
⃗
=
5
u
⃗
+
7
v
⃗
\begin{align*} \vec{A} &= 2(\vec{u} + 5\vec{v}) + 3(\vec{u} - \vec{v}) \\ &= 2\vec{u} + 2(5\vec{v}) + 3\vec{u} - 3\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 10\vec{v} + 3\vec{u} - 3\vec{v} \\ &= (2+3)\vec{u} + (10-3)\vec{v} \\ &= {5}\vec{u} + 7\vec{v} \end{align*}
A
=
2
(
u
+
5
v
)
+
3
(
u
−
v
)
=
2
u
+
2
(
5
v
)
+
3
u
−
3
v
=
2
u
+
10
v
+
3
u
−
3
v
=
(
2
+
3
)
u
+
(
10
−
3
)
v
=
5
u
+
7
v
B
⃗
=
u
⃗
+
7
(
2
u
⃗
+
v
⃗
)
−
2
(
u
⃗
−
4
v
⃗
)
=
u
⃗
+
2
(
2
u
⃗
)
+
7
v
⃗
−
2
u
⃗
+
2
(
4
v
⃗
)
=
u
⃗
+
4
u
⃗
+
7
v
⃗
−
2
u
⃗
+
8
v
⃗
=
(
1
+
4
−
2
)
u
⃗
+
(
7
+
8
)
v
⃗
=
3
u
⃗
+
15
v
⃗
\begin{align*} \vec{B}&=\vec{u}+7\left(2\vec{u}+\vec{v}\right)-2\left(\vec{u}-4\vec{v}\right)\\ &=\vec{u}+2\left(2\vec{u}\right)+7\vec{v}-2\vec{u}+2(4\vec{v})\\ &=\vec{u}+4\vec{u}+7\vec{v}-2\vec{u}+8\vec{v}\\ &=({1}+{4}-{2})\vec{u}+(7+8)\vec{v}\\ &={3}\vec{u}+15\vec{v} \end{align*}
B
=
u
+
7
(
2
u
+
v
)
−
2
(
u
−
4
v
)
=
u
+
2
(
2
u
)
+
7
v
−
2
u
+
2
(
4
v
)
=
u
+
4
u
+
7
v
−
2
u
+
8
v
=
(
1
+
4
−
2
)
u
+
(
7
+
8
)
v
=
3
u
+
15
v
2
x
u
⃗
−
u
⃗
=
0
⃗
(
2
x
−
1
)
u
⃗
=
0
⃗
(
2
x
−
1
)
=
0
o
u
u
⃗
=
0
⃗
(
2
x
−
1
)
=
0
car
u
⃗
≠
0
⃗
x
=
1
2
\begin{align*} &2x\vec{u}-\vec{u}=\vec{0} \\ & (2x-1)\vec{u}=\vec{0} \\ &\left(2x-1\right)=0\ ou\ \vec{u}=\vec{0} \\ & \left(2x-1\right)=0 ~~~~~~~~ \text{ car } \ \vec{u}\neq\vec{0} \\ & x=\frac{1}{2} \end{align*}
2
x
u
−
u
=
0
(
2
x
−
1
)
u
=
0
(
2
x
−
1
)
=
0
o
u
u
=
0
(
2
x
−
1
)
=
0
car
u
=
0
x
=
2
1