Résolvons, dans $\mathbb{R}$, les inéquations

avec $D$ l’ensemble de définition de l’équation et $S$ est l’ensemble des solutions

a/ $\quad (E): \ln(\dfrac{x+2}{x-1})>0$

$D = ?$

$x \in D \iff x \neq 1$ et $\frac{x+2}{x-1} > 0$

Tableau de signes:

$\implies \boxed{D = ]-\infty, -2[ \cup ]1, +\infty[}$

Et donc $\forall x \in D$ ;

D’où

b/ $\quad(E): \ln(\frac{2x+1}{x-3}) < 1$

$D = ?$

$x \in D \iff x \neq 3$ et $\frac{2x+1}{x-3} > 0$

Tableau de signes:

$\implies \boxed{D = \left]-\infty, -\frac{1}{2}\right[ \cup ]3, +\infty[}$

Et donc $(\forall x \in D)$ ;

et on a:

et comme $\frac{-1-3e}{2-e} < 3 < e$

Tableau de signes:

c/ $\quad(E): \dfrac{\ln x - 1}{\ln x + 1} \geq 0$

$D = ?$

et on a :

d’où

Et donc; en posant: $(\forall x \in D); X = \ln x$

L’inéquation devient: $\dfrac{X - 1}{X + 1} \geq 0$

Tableau de signes:

Et donc

d’où

d/ $\quad(E): (\ln x)^2 - \ln x - 2 \leq 0$

$\forall x \in D$; on pose: $X = \ln x$

Et donc $(E) \iff X^2 - X - 2 \leq 0$

On résout l’équation: $X^2 - X - 2 = 0$

$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 > 0$

$\sqrt{\Delta} = 3$

Tableau de signes:

Et donc

et donc