تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Fonction logarithme népérien

Exercice 12

On considère ff la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par :

f(x)=−1+1x−2ln⁡(x)f(x)=-1+\frac{1}{x}-2\ln(x)

et soit (C)(C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}).

  1. a. Calculer lim⁡x→0+f(x)\lim\limits_{x\to0^+}f(x)
    b. Donner l’interprétation graphique de ce résultat

  2. a. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) puis lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
    b. Donner l’interprétation graphique de ce résultat

  3. a. Montrer que : ∀x>0  ;  f′(x)=−(1x2+2x)\forall x>0~~ ;~~ f'(x)=-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x}\right)
    b. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, puis dresser le tableau de variation de ff

  4. a. Montrer que : ∀x>0  ;  f′′(x)=2(1x3+1x2)\forall x>0~~ ;~~ f''(x)=2\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}\right), puis en déduire la concavité de (C)(C)
    b. Recopier ce tableau sur votre copie et le compléter :

    xx 12\dfrac{1}{2} 11 ee
    f(x)f(x)

    c. Montrer que y=−3x+3y=-3x+3 est l’équation de la droite (T)(T) tangente à la courbe (C)(C) au point A(1;0)A(1;0)

  5. Construire les points de la courbe (C)(C) d’abscisses respectives 12\dfrac{1}{2}, 11 et ee, et la tangente (T)(T) en AA, puis tracer la courbe (C)(C).

On prend 1e=0,4\dfrac{1}{e}=0{,}4 et ln⁡(2)=0,7\ln(2)=0{,}7

f(x)=−1+1x−2ln⁡(x)  ;  ∀x>0f(x)=-1+\dfrac1x-2\ln(x)~~;~~\forall x>0

1/a/ lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty car

  • lim⁡x→0+1=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1=+\infty
  • lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty

b/ I.G :

(C)(C) admet une asymptote verticale d’équation : x=0x=0 (c.à.d l’axe des ordonnées) à droite

2/a/

∴lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞−1+1x−2ln⁡(x)=−∞\therefore\quad\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}-1+\dfrac1x-2\ln(x)=-\infty

car :

lim⁡x→+∞1x=0\quad\quad\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\quad et lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty

∴lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞−1x+1x2−2ln⁡(x)x=0\therefore\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac1x+\dfrac1{x^2}-2\dfrac{\ln(x)}x=0

car : {lim⁡x→+∞−1x=0 lim⁡x→+∞−1x2=0 lim⁡x→+∞−ln⁡(x)x=0\text{car : }\left\{ \begin{matrix} \lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac1x=0\\~\\ \lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac1{x^2}=0\\~\\ \lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac{\ln(x)}x=0 \end{matrix} \right.

b/ I.G :

(C)(C) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au V+∞\mathcal{V}_{+\infty}

3/a/ f′(x)=?\quad f'(x)=?

ff dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par somme; et produit et on a :

(∀x>0);(\forall x>0);

f′(x)=−1+1x−2ln⁡(x)=0−1x2−2x=−(1x2+2x)\begin{align*} f'(x)&=-1+\dfrac1x-2\ln(x)\\ &=0-\dfrac1{x^2}-\dfrac2x \\ &=-\left(\dfrac1{x^2}+\dfrac2x\right) \end{align*}

b/

∴\therefore signe de f′(x)f'(x)

(∀x>0); f′(x)<0(\forall x>0);~f'(x)<0 car 1x2>0\dfrac1{x^2}>0 et 2x>0\dfrac2{x}>0

∴\therefore T.V de ff

f(x)fʹ(x)x0+∞−+∞−∞A.V(x=0)B.P(Ox)

4/a/ ∴f′′(x)=?\therefore\quad f''(x)=?

on a : (∀x>0); f′(x)=−(1x2+2x)(\forall x>0);~f'(x)=-\left(\dfrac1{x^2}+\dfrac2x\right)

  ⟹  f′′(x)=−[(1x2)′+(2x)′]=−[−(x2)′(x2)2+2(1x)′]=−[−2xx4+2(−1x2)]=−[−2x3−2x2]\begin{aligned} \implies f''(x)&=-\left[\left(\dfrac1{x^2}\right)'+\left(\dfrac2{x}\right)'\right] \\&=-\left[-\dfrac{(x^2)'}{(x^2)^2}+2\left(\dfrac{1}{x}\right)'\right] \\&=-\left[-\dfrac{2x}{x^4}+2\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\right] \\&=-\left[-\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{2}{x^2}\right] \end{aligned}

et donc

(∀x>0); f′′(x)=2(1x3+1x2)(\forall x>0);~f''(x)=2\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}\right)

∴\therefore Concavité de (C)(C) :

(∀x>0) ; f′′(x)>0(\forall x>0)~;~f''(x)>0 car 2>02>0 ; 1x3>0\dfrac1{x^3}>0 et 1x>0\dfrac1x>0

et donc (C)(C) convexe sur ]0,+∞[]0,+\infty[

b/

xx 12\dfrac{1}{2} 11 ee
f(x)f(x) 1+2ln⁡21+2\ln2 0 1−3ee\dfrac{1-3e}{e}
f(12)=−1+2−2ln⁡(2)=1+2ln⁡(2)≃2,4\begin{aligned} f\left(\dfrac12\right)&=-1+2-2\ln(2)\\&=1+2\ln(2)\\&\simeq2,4 \end{aligned}
f(1)=−1+1−2×0=0f(1)=-1+1-2\times0=0
f(e)=−1+1e−ln⁡(e)=−1+1e−2=−3+1e=1−3ee≃−2,63\begin{aligned} f(e)&=-1+\dfrac1e-\ln(e)\\&=-1+\dfrac1e-2\\&=-3+\dfrac1e\\&=\dfrac{1-3e}{e}\\&\simeq -2,63 \end{aligned}

c/ Equation de la tangente (T)(T) en A(1,0)A(1,0)

y=f′(1)(x−1)+f(1)y=f'(1)(x-1)+f(1)

avec f(1)=0f(1)=0 et f′(1)=−(1+2)=−3f'(1)=-(1+2)=-3

donc y=−3(x−1)+0y=-3(x-1)+0

Alors :

(T) : y=−3x+3(T)~:~y=-3x+3

5/ Construction de (C)(C)

(T) : y=−3x+3x10y03\begin{align*} (T)~:~y=-3x+3 \\ \begin{array}{c|c|c} x & 1 & 0 \\ \hline y & 0 & 3 \end{array} \end{align*}
O⃗i⃗j(Cf)(T)