تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Fonction logarithme népérien

Exercice 7

Résoudre dans R\R les équations :

a) ln⁡(2x−3)+ln⁡(x+1)=ln⁡(3)\ln(2x-3)+\ln(x+1)=\ln(3)

b) ln⁡(2x+1)−2ln⁡(1−x)=0\ln(2x+1)-2\ln(1-x)=0

c) ln⁡∣x+2∣−ln⁡∣8x−1∣=0\ln|x+2|-\ln|8x-1|=0

d) (ln⁡ x)3+2(ln⁡ x)2−3ln⁡ x=0(\ln~x)^3+2(\ln~x)^2-3\ln~x=0

Résolvons, dans R\mathbb{R}, les équations avec DD l’ensemble de définition de l’équation et SS est l’ensemble des solutions

a/ (E):ln⁡(2x−3)+ln⁡(x+1)=ln⁡(3)\quad (E): \ln(2x-3) + \ln(x+1) = \ln(3)

D=?D = ?

x∈D  ⟺  x>32 et x>−1  ⟺  x>32\begin{align*} x\in \text{D} &\iff x > \frac{3}{2} \text{ et } x > -1 \\&\iff x > \frac{3}{2} \end{align*}
  ⟹  D=]32,+∞[\implies \boxed{D = ]\frac{3}{2}, +\infty[}

Et donc (∀x∈D)(\forall x \in D)

(E)  ⟺  ln⁡((2x−3)(x+1))=ln⁡(3)  ⟺  (2x−3)(x+1)=3  ⟺  2x2+2x−3x−3=3  ⟺  2x2−x−6=0\begin{align*} (E) &\iff \ln((2x-3)(x+1)) = \ln(3) \\ &\iff (2x-3)(x+1) = 3 \\ &\iff 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 3 \\ &\iff 2x^2 - x - 6 = 0 \end{align*}
Δ=b2−4ac=(−1)2−4(2)(−6)=49>0\begin{align*} \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6)= 49 > 0 \end{align*}
Δ=7\sqrt{\Delta} = 7
x1=−b+Δ2a=1+74=2∈Dx_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 + 7}{4} = 2 \in D

et

x2=−b−Δ2a=1−74=−32∉Dx_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{3}{2} \notin D
  ⟹  SR={2}\implies S_{\mathbb{R}} = \{2\}

b/ (E):ln⁡(2x+1)−2ln⁡(1−x)=0\quad (E): \ln(2x+1) - 2\ln(1-x) = 0

D=?D = ?

x∈D  ⟺  2x+1>0 et 1−x>0  ⟺  x>−12 et x<1  ⟺  −12<x<1\begin{align*} x\in\text{D} &\iff 2x+1 > 0 \text{ et } 1-x > 0 \\&\iff x > -\frac{1}{2} \text{ et } x < 1 \\&\iff -\frac{1}{2} < x < 1 \end{align*}
  ⟹  D=]−12,1[\implies \boxed{D = \left]-\frac{1}{2}, 1\right[}

Et donc (∀x∈D)(\forall x \in D)

(E)  ⟺  ln⁡(2x+1)=2ln⁡(1−x)  ⟺  ln⁡(2x+1)=ln⁡((1−x)2)  ⟺  2x+1=(1−x)2  ⟺  2x+1=1−2x+x2  ⟺  x2−4x=0  ⟺  x(x−4)=0  ⟺  x=0∈D ou x=4∉D\begin{align*} (E) &\iff \ln(2x+1) = 2\ln(1-x) \\ &\iff \ln(2x+1) = \ln((1-x)^2)\\ &\iff 2x+1 = (1-x)^2\\ &\iff 2x+1 = 1 - 2x + x^2\\ &\iff x^2 - 4x = 0\\ &\iff x(x-4) = 0\\ &\iff x = 0 \in D \text{ ou } x = 4 \notin D \end{align*}
SR={0}\boxed{S_{\mathbb{R}} = \{0\}}

c/ (E):ln⁡∣x+2∣−ln⁡∣8x−1∣=0\quad (E): \ln|x+2| - \ln|8x-1| = 0

D=?D = ?

x∈D  ⟺  x+2≠0 et 8x−1≠0  ⟺  x≠−2 et x≠18\begin{align*} x\in \text{D} &\iff x+2 \neq 0 \text{ et } 8x-1 \neq 0 \\&\iff x \neq -2 \text{ et } x \neq \frac{1}{8} \end{align*}
D=R∖{−2,18}\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \left\{-2, \frac{1}{8}\right\}}

Et donc (∀x∈D)(\forall x \in D)

(E)  ⟺  ln⁡∣x+2∣=ln⁡∣8x−1∣  ⟺  ∣x+2∣=∣8x−1∣  ⟺  x+2=8x−1 ou x+2=−(8x−1)  ⟺  −7x=−3 ou x+2=−8x+1  ⟺  x=37∈D ou 9x=−1  ⟺  x=37∈D ou x=−19∈D\begin{align*} (E) &\iff \ln|x+2| = \ln|8x-1| \\&\iff |x+2| = |8x-1| \\&\iff x+2 = 8x-1 \text{ ou } x+2 = -(8x-1) \\&\iff -7x = -3 \text{ ou } x+2 = -8x+1 \\&\iff x = \frac{3}{7} \in D \text{ ou } 9x = -1 \\&\iff x = \frac{3}{7} \in D \text{ ou } x = -\frac{1}{9} \in D \end{align*}
SR={−19,37}\boxed{S_{\mathbb{R}} = \{-\frac{1}{9}, \frac{3}{7}\}}

d/ (E):(ln⁡x)3+2(ln⁡x)2−3ln⁡x=0\quad (E): (\ln x)^3 + 2(\ln x)^2 - 3 \ln x = 0

D=?D = ?

x∈D  ⟺  x>0x \in D \iff x > 0

et donc D=]0,+∞[\boxed{D = ]0, +\infty[}

Et donc (∀x∈D)(\forall x \in D)

(E)  ⟺  (ln⁡x)[(ln⁡x)2+2ln⁡x−3]=0  ⟺  ln⁡x=0ou(ln⁡x)2+2ln⁡x−3=0  ⟺  x=1∈Dou(ln⁡x)2+2ln⁡x−3=0\begin{align*} (E) &\iff (\ln x) [(\ln x)^2 + 2 \ln x - 3] = 0 \\&\iff \ln x = 0\quad\text{ou}\quad (\ln x)^2 + 2 \ln x - 3 = 0 \\&\iff x = 1 \in D\quad\text{ou}\quad (\ln x)^2 + 2 \ln x - 3 = 0 \end{align*}

Résolvons l’équation:

(ln⁡x)2+2ln⁡x−3=0(\ln x)^2 + 2 \ln x - 3 = 0

On pose X=ln⁡(x)X = \ln(x)

et l’équation devient alors:

X2+2X−3=0X^2 + 2X - 3 = 0

on a :

Δ=b2−4ac=4+12=16>0\Delta = b^2 - 4ac = 4 + 12 = 16 > 0

Δ=4\sqrt{\Delta} = 4

d’où

{X1=−b+Δ2a=−2+42=1 X2=−b−Δ2a=−2−42=−3\left\{ \begin{align*} &X_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \\~\\ &X_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \end{align*} \right.

et donc ln⁡(x)=1\ln(x) = 1 ou ln⁡(x)=−3\ln(x) = -3

Rappel : (∀x>0)(∀x∈Q):\quad(\forall x>0)(\forall x\in\mathbb{Q}) : ln⁡x=r  ⟺  x=er\quad \ln x=r \iff x=e^r

  ⟺  x=e1=e∈D\iff x = e^1 = e \in D ou x=e−3=1e3∈Dx = e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \in D

d’où

SR={1e3,1,e}\boxed{S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{1}{e^3}, 1, e\right\}}