تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Fonction logarithme népérien

Exercice 1

  1. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
    ∙  f:x↦ln⁡(x+1)\bullet~~ f : x \mapsto \ln(x+1)
    ∙  g:x↦ln⁡(−x+1x−2)\bullet~~ g : x \mapsto \ln\left(\dfrac{-x+1}{x-2}\right)

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations :
    ∙  ln⁡(x+1)≤0\bullet~~ \ln(x+1) \le 0
    ∙  ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0\bullet~~ \ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0

  1. Les ensembles de définition :
Df={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D_f &= \{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}
Dg={x∈R∣x≠2 et −x+1x−2>0}=]1;2[\begin{align*} D_g &= \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 2 \text{ et } \dfrac{-x+1}{x-2} > 0 \right\} \\ &= ]1;2[ \end{align*}
  1. Résolution :

  • ln⁡(x+1)≤0\ln(x+1) \le 0

    Domaine de définition

    D={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}

    Soit x∈]−1;+∞[x\in]-1;+\infty[

    ln⁡(x+1)≤0  ⟺  ln⁡(x+1)≤ln⁡(1)  ⟺  x+1≤1  ⟺  x≤0  ⟺  x∈]−∞,0[\begin{align*} \ln(x+1) \le 0 &\iff \ln(x+1) \le \ln(1) \\&\iff x+1 \le 1 \\ & \iff x \le 0 \\&\iff x\in]-\infty,0[ \end{align*}

    Donc

    x∈]−1;+∞[ et x∈]−∞,0[  ⟺  x∈]−1;+∞[∩]−∞;0]  ⟺  x∈]−1;0]\begin{align*} &x\in]-1;+\infty[\text{ et }x\in]-\infty,0[\\ &\iff x \in ]-1;+\infty[ \cap ]-\infty;0] \\ &\iff x\in]-1;0] \end{align*}

    Ensemble solution : S=]−1;0]S = ]-1;0]

  • ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0

    Domaine de définition

    D={x∈R∣−x+1>0 et x+3>0}={x∈R∣x<1 et x>−3}=]−3;1[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid -x + 1 > 0\text{ et } x+3>0 \} \\ &=\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\text{ et } x>-3 \} \\ &= ]-3;1[ \end{align*}

    Soit x∈]−3;1[x\in ]-3;1[

    ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0  ⟺  ln⁡(−x+1)<ln⁡(x+3)  ⟺  −x+1<x+3  ⟺  −2x<2  ⟺  x>−1  ⟺  x∈]−1;+∞[\begin{align*} &\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0\\ &\iff \ln(-x+1) < \ln(x+3)\\ &\iff -x+1<x+3\\ &\iff -2x<2 \\ &\iff x>-1\\ &\iff x\in]-1;+\infty[ \end{align*}

    Donc

    x∈]−3;1[ et x∈]−1;+∞[x\in ]-3;1[ \text{ et } x\in]-1;+\infty[
    x∈]−1;1[x\in]-1;1[

    Ensemble solution : S=]−1;1[S = ]-1;1[