Domaine de définition : $\bf D_{\ln}=]0;+\infty[$

Limites au bornes de $D_{\ln}$ : $\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$

Les branches infinies de $\bf (C_f)$

• $\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty$ donc la droite d’équation $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$
• $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=+\infty$ donc la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$

Les variations : la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a : $f'(x)=\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$
Donc $\ln'(x)>0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$, par suite $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$

Signe de $\bf\ln x$ sur $]0,+\infty[$

L’équation $\bf \ln(x)=1$
On a la fonction $\ln$ est continue et croissante sur $]0;+\infty[$
Comme $\ln(]0;+\infty[)=]-\infty;+\infty[$, donc $1\in \ln(]0;+\infty[)$
Alors l’équation $\ln(x)=1$ admet une unique solution dans $]0;+\infty[$.
On note cette solution par $e$, et sa valeur approchée est $e\simeq2.718$

L’équation de la tangente $\bf (T)$ à $\bf (C_f)$ au point d’abscisse $\bf1$

Donc $(T):~y = x - 1$

Concavité de $\bf (C_f)$
On a $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$
Donc $\ln''(x)<0$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$
Alors la courbe $(C_f)$ de la fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty[$

Construction de la courbe $\bf (C_f)$