📝 Exercices de la série▼
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Exercice 9

Soit (un)n(u_n)_n une suite définie par :

{u0=3un+1=23un+5    ;  (∀n∈N)\left\{ \begin{array}{ll} u_0=3 \\ u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+5 ~~~~;~~ (\forall n\in\N) \end{array} \right.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2

  2. a. Montrer par récurrence que (∀n∈N) ; un<15(\forall n\in\N) ~;~ u_n<15

    b. Mq : (∀n∈N) ; un+1−un=−13un+5(\forall n\in\N) ~;~ u_{n+1}-u_n=-\frac13 u_n+5

    c. Vérifie que : (∀n∈N) ; −13un+5>0(\forall n\in\N) ~;~ -\frac13 u_n+5>0

    d. En déduire que (un)(u_n) est croissante et qu'elle est convergente

  3. On pose : (∀n∈N) ; vn=un−15(\forall n\in\N) ~;~ v_n=u_n-15

    a. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=23q=\frac{2}{3}

    b. Calculer le premier terme v0v_0 et montrer que : (∀n∈N) ; vn=(−12)(23)n(\forall n\in\N) ~;~ v_n=(-12)\left(\frac{2}{3}\right)^n

  4. a. Caculer unu_n en fonction de nn

    b. Caculer lim⁡un\lim u_n

{u0=3un+1=23un+5    ;  (∀n∈N)\left\{ \begin{array}{ll} u_0=3 \\ u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+5 ~~~~;~~ (\forall n\in\N) \end{array} \right.

  1. u1=?u_1=? et u2=?u_2=?

    • u1=23u0+5=23×3+5=7u_1=\frac{2}{3}u_0+5=\frac{2}{3}\times3+5=7
    • u2=23u1+5=23×7+5=293u_2=\frac{2}{3}u_1+5=\frac{2}{3}\times7+5=\frac{29}{3}

  2. a) par récurrence

    • Pour n=0n=0 on a : u0=3<15u_0=3<15
      La proposition est vraie pour n=0n=0
    • Soit n∈Nn\in\N, Supposons que : un<15u_n<15
      et montrons que : un+1<15u_{n+1}<15
      On a : (∀n∈N)(\forall n\in\N) : un+1−15=23un+5−15=23un−10=23(un−15)\begin{align*} u_{n+1}-15&=\frac{2}{3}u_n+5-15\\&=\frac{2}{3}u_n-10\\&=\frac{2}{3}(u_n-15) \end{align*} et on a : un<15  ⟹  un−15<0  ⟹  23(un−15)<0  ⟹  un+1−15<0  ⟹  un+1<15\begin{align*} u_n<15 &\implies u_n-15<0 \\&\implies \frac{2}{3}(u_n-15)<0 \\&\implies u_{n+1}-15<0 \\&\implies u_{n+1}<15 \end{align*}
    • Conclusion : d'après le principe de récurrence on a : (∀n∈N) ; un<15\boxed{(\forall n\in\N) ~;~ u_n<15}

    b) (∀n∈N)\quad(\forall n\in\N) :

    un+1−un=23un+5−un=23un−un+5=(23−1)un+5=−13un+5\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \frac{2}{3}u_n+5 - u_n \\ &= \frac{2}{3}u_n - u_n + 5 \\ &= \left(\frac{2}{3}-1\right)u_n + 5 \\ &= -\frac{1}{3}u_n + 5 \end{align*}

    c) \quad On sait que : (∀n∈N) ; un<15(\forall n\in\N) ~;~ u_n<15

    un<15  ⟹  −13un>−5  ⟹  −13un+5>0\begin{align*} u_n<15&\implies -\frac{1}{3}u_n > -5\\ &\implies -\frac{1}{3}u_n + 5 > 0 \end{align*}

    Donc :

    (∀n∈N) ; −13un+5>0\boxed{(\forall n\in\N) ~;~ -\frac{1}{3} u_n+5>0}

    d) (un)(u_n) est croissante et converge

    • On a : (∀n∈N) ; un+1−un=−13un+5(\forall n\in\N) ~;~ u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{3} u_n+5
      et (∀n∈N) ; −13un+5>0(\forall n\in\N) ~;~ -\frac{1}{3} u_n+5>0
      Donc (∀n∈N) ; un+1−un>0(\forall n\in\N) ~;~ u_{n+1}-u_n>0
        ⟹  (un)\implies (u_n) est strictement croissante
    • Or (un)(u_n) est majorée par 15 et croissante
        ⟹  (un) est convergente\implies \boxed{(u_n)~\text{est convergente}}

  3. (∀n∈N) ; vn=un−15(\forall n\in\N) ~;~ v_n=u_n-15
    a) Montrons que (vn)(v_n) est géométrique de raison q=23q=\frac{2}{3}

    vn+1=un+1−15=23un+5−15=23(un−15)=23vn\begin{align*} v_{n+1} &= u_{n+1} - 15 = \frac{2}{3}u_n + 5 - 15 \\ &= \frac{2}{3}(u_n - 15) = \frac{2}{3}v_n \end{align*}

    Donc (vn)(v_n) est géométrique de raison 23\frac{2}{3}

    b) v0=?v_0=? ~~ (∀n∈N);vn=−12(23)n(\forall n\in\N) ; v_n = -12\left(\frac{2}{3}\right)^n

    • v0=u0−15=3−15=−12v_0 = u_0 - 15 = 3 - 15 = -12
    • Donc : vn=v0(23)n=−12(23)nv_n = v_0 \left(\frac{2}{3}\right)^n = -12 \left(\frac{2}{3}\right)^n

  4. a) unu_n en fonction de nn

    un=vn+15=−12(23)n+15  ⟹  un=−12(23)n+15\begin{align*} u_n &= v_n + 15 = -12 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 15 \\ \implies \boxed{u_n = -12 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 15} \end{align*}

    b) lim⁡un\lim u_n ?

    lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞(−12(23)n+15)=0+15=15\begin{align*} \lim_{n \to +\infty} u_n &= \lim_{n \to +\infty} \left(-12 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 15\right) \\ &= 0 + 15 = \boxed{15} \end{align*}