1. par récurrence.

Initialisation : $u_0 = 2$, donc $0 < u_0 < 3$ est vérifié.

Hérédité : Soit $n\in\N$ Supposons que, $0 \le u_n \le 3$.

Alors,

$$0 \le \sqrt{u_n + 6} \le \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$$

Donc, $0 \le u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} < 3$.

Conclusion : par récurrence,

$$(\forall n \in \mathbb{N}) \; 0 < u_n \le 3$$

$$\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\sqrt{u_n+6}}{u_n}\\ &=\sqrt{\dfrac{u_n+6}{u_n^2}}\\ &=\sqrt{\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}}~~~~~~\text{ car } u_n>0 \end{align*}$$

or $0 < u_n < 3$ donc $\frac{1}{u_n} >\frac13$ et donc $\frac{1}{u_n^2} >\frac1{9}$

$$\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}>\frac13+\frac69=1$$

et donc :

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1~~~~~~~\text{et } u_n>0$$

Alors : la suite $(u_n)$ est croissnate

3. Comme la suite $(u_n)_n$ est croissante et minorée, donc elle est convergente

4. Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0,3]$ par : $f(x)=\sqrt{x+3}$ on a :

• $f$ est continue sur $I$
• $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0\in I$
• La suite $(u_n)$ est convergente
• $f$ est strictement croissante sur $I$ donc $f(I)=[f(0);f(1)]=[1;3]$ et donc $f(I)\subset I$

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est la solution de l'équation $f(x)=x$

Soit $x\in I$

$$\begin{align*} f(x)=x &\iff \sqrt{x+6}=3 \\ &\iff x+6=9 \\ &\iff x=3 \end{align*}$$

Conclusion :

$$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3$$