📝 Exercices de la série▼
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Théorème des gendarmes
Si

  • ∀n≥pun≤vn≤wn\forall n \ge p \quad u_n \le v_n \le w_n
  • et lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞wn=L\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = L

Alors lim⁡n→+∞vn=L\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = L

Exercice 4

Soit (un)n≥1(u_n)_{n \ge 1} définie par un=sin⁡(n)n2+1u_n = \dfrac{\sin(n)}{n^2} + 1

  1. Montrer que 1−1n2≤un≤1+1n21 - \dfrac{1}{n^2} \le u_n \le 1 + \dfrac{1}{n^2}
  2. En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n

1.

Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*,

un=sin⁡(n)n2+1u_n = \frac{\sin(n)}{n^2} + 1

Sachant que ∣sin⁡(n)∣≤1|\sin(n)| \leq 1, on a

−1n2≤sin⁡(n)n2≤1n2-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\sin(n)}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}

Donc,

1−1n2≤un≤1+1n21 - \frac{1}{n^2} \leq u_n \leq 1 + \frac{1}{n^2}

2.

On a

lim⁡n→∞(1−1n2)=1\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = 1 lim⁡n→∞(1+1n2)=1\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) = 1

Donc, par le théorème des gendarmes,

lim⁡n→∞un=1\lim_{n \to \infty} u_n = 1