📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

Déterminer les limites :

lim⁡n→+∞(−12)n;lim⁡n→+∞−13n;lim⁡n→+∞−3(43)n\lim\limits_{n\to +\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n \quad;\quad \lim\limits_{n\to+\infty}-\frac{1}{3^n} \quad ; \quad \lim\limits_{n\to+\infty}-3\left(\frac{4}{3}\right)^n lim⁡n→+∞2n−3n3n;lim⁡n→+∞2n−3n2n+3n\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{3^n} \quad ; \quad \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n} lim⁡n→+∞n−23;lim⁡n→+∞n23−n34\lim\limits_{n\to+\infty} n^{-\frac{2}{3}} \quad ;\quad \lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{3}{4}}

Propriété

  • Si −1<a<1-1<a<1, alors lim⁡n→+∞an=0\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=0
  • Si a>1a>1, alors lim⁡n→+∞an=+∞\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=+\infty
  • Si a≤−1a\le -1, alors lim⁡n→+∞\lim\limits_{n\to +\infty} alors la suite (an)n(a^n)_n n’admet pas de limite
  • si a=1a=1, alors lim⁡n→+∞an=1\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=1

  • On a : −1<−12<1-1 <-\frac{1}{2} < 1

    Donc lim⁡n→+∞(−12)n=0\lim\limits_{n\to +\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n=0

  • lim⁡n→+∞−13n=lim⁡n→+∞−(13)n=0\lim\limits_{n\to+\infty}-\frac{1}{3^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}-\left(\frac{1}{3}\right)^n=0

    car −1<13<1-1 <\frac{1}{3} < 1

  • lim⁡n→+∞−3(43)n=−∞\lim\limits_{n\to+\infty}-3\left(\frac{4}{3}\right)^n=-\infty car 43>1\frac{4}{3} > 1

∙lim⁡n→+∞2n−3n3n=lim⁡n→+∞2n3n−3n3n=lim⁡n→+∞(23)n−1=0−1=−1\begin{align*} \bullet\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{3^n}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n}{3^n}-\frac{3^n}{3^n}\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac23\right)^n-1\\ &=0-1=-1 \end{align*}

car −1<23<1-1 <\frac{2}{3} < 1

∙lim⁡n→+∞2n−3n2n+3n=lim⁡n→+∞(23)n−1(23)n+1=−1\bullet\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n-1}{\left(\frac23\right)^n+1}=-1

Propriété

Soit α∈Q∗\alpha \in \mathbb{Q}^*

  • Si α>0\alpha>0 alors lim⁡n→+∞nα=+∞\lim\limits_{n\to+\infty} n^\alpha=+\infty
  • Si α<0\alpha<0 alors lim⁡n→+∞nα=0\lim\limits_{n\to+\infty} n^\alpha=0
  • lim⁡n→+∞n−23=0\lim\limits_{n\to+\infty} n^{-\frac{2}{3}}=0 car 23<0\frac{2}{3} < 0
∙lim⁡n→+∞n23−n34=lim⁡n→+∞n23(1−n34n23)=lim⁡n→+∞n23(1−n34−23)=lim⁡n→+∞n23(1−n112)=−∞\begin{align*} \bullet\quad\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{3}{4}} &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-\dfrac{n^{\frac{3}{4}}}{n^{\frac{2}{3}}} \right)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-n^{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}} \right)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-n^{\frac{1}{12}} \right)\\ &=-\infty \end{align*}