$$\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \end{array} \right.$$

1. Par récurrence :

• Initialisation : $u_0 = 1 < 2$

• Hérédité : soit $n\in\N$, supposons que $u_n < 2$ et montrons que $u_{n+1} < 2$

  On a :

  $$\begin{align*} u_{n+1}-2&=\frac{3u_n - 8}{2u_n - 5} - 2\\& = \frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} \end{align*}$$

  et on a $u_n < 2$, alors $-u_n + 2 > 0$ et $2u_n - 5 < 0$

  le quotient $\frac{-u_n + 2}{2u_n - 5}$ est négatif

  et donc $u_{n+1} < 2$

• Conclusion :

  $$(\forall n\in\N)~ u_n < 2$$

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2. $v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}$

a) Montrons que $(v_n)$ est arithmétique :

$$\begin{align*} v_{n+1} &=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}-2}\\ &=\dfrac{3u_n-7}{u_n-2} \end{align*}$$ $$v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n-4}{u_n-2}=2$$

Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$ et de prmier terme $v_0$ :

$$v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 - 2} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2$$

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b) Exprimer $v_n$ et $u_n$ :

Suite arithmétique :

$$\begin{align*} v_n &=v_0+nr\\&=2 + 2n \\&= 2(1 + n) \end{align*}$$

et on a :

$$\begin{align*} v_n=\frac{u_n-3}{u_n-2}&\implies v_nu_n-2v_n=u_n-3\\ &\implies u_n(v_n-1)=2v_n-3 \\ &\implies u_n=\frac{2v_n-3}{v_n-1} \end{align*}$$

Alors :

$$u_n = \frac{2v_n - 3}{v_n - 1} = \frac{4n + 1}{2n + 1}$$

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c) Calcul de la limite :

$$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 1}{2n + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

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d) Calcul de $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}$

$$v_{10}=2(1+10)=22$$

Suite arithmétique de premier terme $v_0 = 2$, raison $r = 2$, $n = 11$ termes :

$$S = \frac{11}{2}(v_0 + v_{10}) = \frac{11}{2}(2 + 22) = 132$$