• Pour la suite $(u_n)$ :

$$\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} u_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{n^3 - 2}\\ \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n^3 \left( \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right)}{n^3 \left( 1 - \frac{2}{n^3} \right)} \\&= \frac{0}{1}\\& = 0 \end{align*}$$

Donc, la suite $(u_n)$ est convergente.

• Pour la suite $(v_n)$ :

$$\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} v_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2 + 1}{n + 1} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2}{n} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} 5n \\&= +\infty \end{align*}$$

Donc, la suite $(v_n)$ est divergente.

• Pour la suite $(w_n)$ :

  La suite $(w_n)$ alterne entre $1$ et $-1$ selon la parité de $n$.

  Cette suite ne tend pas vers une limite unique lorsque $n\to+\infty$

  Donc, $\lim\limits_{+\infty}w_n$ n'existe pas.

  et donc, la suite $(w_n)$ est divergente car elle n’a pas de limite finie.