📝 Exercices de la série▼
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Si

  • (∀n≥p)∣un−L∣≤vn(\forall n \ge p)\quad |u_n - L| \le v_n
  • et lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0

alors lim⁡n→+∞un=L\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L.

Exercice 3

Soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=2+(−1)nn+1v_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}

  1. Montrer que ∀n∈N∣vn−2∣≤1n\forall n \in \mathbb{N} \quad |v_n - 2| \le \dfrac{1}{n}
  2. En déduire lim⁡n→+∞vn\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} v_n

1. (∀n∈N) ; ∣vn−2∣≤1n(\forall n \in \mathbb{N}) ~;~ |v_n-2|\le \frac{1}{n}

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a

vn=2+(−1)nn+1v_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n+1}

Calculons ∣vn−2∣|v_n - 2| :

∣vn−2∣=∣2+(−1)nn+1−2∣=∣(−1)nn+1∣=1n+1\begin{align*} |v_n - 2| &= \left| 2 + \frac{(-1)^n}{n+1} - 2 \right| \\&= \left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right| \\&= \frac{1}{n+1} \end{align*}

Puisque n+1>nn+1 > n pour tout n≥1n \geq 1, on a

1n+1≤1n\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n}

Donc, ∣vn−2∣≤1n|v_n - 2| \leq \frac{1}{n}.

2. En déduire lim⁡n→+∞vn\lim\limits_{n\to+\infty}v_n

On sait que ∣vn−2∣≤1n|v_n - 2| \leq \frac{1}{n} et lim⁡+∞1n=0\lim\limits_{+\infty}\dfrac1n=0.

Donc :

lim⁡n→∞vn=2\lim_{n \to \infty} v_n = 2