📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9

Si

  • ∀n≥pvn≤un\forall n \ge p \quad v_n \le u_n
  • et lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty

Alors lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Exercice 5

Soit (wn)(w_n) définie par : w1=1w_1 = 1 et wn+1=wn(1+wn)w_{n+1} = w_n(1 + w_n)

  1. Montrer que wn≥nw_n \ge n
  2. En déduire lim⁡n→+∞wn\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} w_n

1. Par récurrence

Initialisation : Pour n=1n = 1, on a w1=1≥1w_1 = 1 \geq 1.

Hérédité : Supposons que wn≥nw_n \geq n. Alors,

wn+1=wn(1+wn)≥n(1+n)=n2+n≥n+1\begin{align*} w_{n+1} = w_n (1 + w_n) &\geq n (1 + n) = n^2 + n \\&\geq n + 1 \end{align*}

Donc, wn+1≥n+1w_{n+1} \geq n + 1.

Par induction, wn≥nw_n \geq n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

2. lim⁡n→+∞wn=?\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=?

Puisque wn≥nw_n \geq n, alors quand n→∞n \to \infty, wn→∞w_n \to \infty.

Donc,

lim⁡n→∞wn=∞\lim_{n \to \infty} w_n = \infty