📝 Exercices de la série▼
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Soit ff une fonction définie sur DD, et (Cf)(C_f) sa courbe dans un repère orthonormé.

aa et bb deux réels

Ω(a;b)\Omega(a;b) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f) si :

  • ∀x∈Df : 2a−x∈Df\forall x\in D_f ~:~ 2a-x\in D_f
  • f(2a−x)+f(x)=2bf(2a-x)+f(x)=2b

Exercice 8

ff est une fonction numérique définie par :

f(x)=x−1(x2−2x)2f(x)=\frac{x-1}{(x^2-2x)^2}
  1. Déterminer DfD_f le domaine de définition de ff
  2. Montrer que le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)

Correction

  1. Df={x∈R/(x2−2x)2≠0}D_f=\left\{x\in\R/ (x^2-2x)^2\ne 0\right\}

    Soit x∈Rx\in\R

    (x2−2x)2=0  ⟺  x2−2x=0  ⟺  x(x−2)=0  ⟺  x=0 ou x−2=0  ⟺  x=0 ou x=2\begin{align*} (x^2-2x)^2=0 &\iff x^2-2x=0 \\ &\iff x(x-2)=0 \\ &\iff x=0 ~ ou ~ x-2=0 \\ &\iff x=0 ~ ou ~ x=2 \end{align*} Df=R−{0;2}=]−∞;0[∪]0;2[∪]2;+∞[D_f=\R-\{0;2\}=]-\infty;0[\cup ]0;2[\cup ]2;+\infty[

  2. Montrons que le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est un centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)

    Ici ; a=1a=1 et b=0b=0

    Soit x∈Dfx\in D_f Montrons que 2−x∈Df2-x\in D_f

    Si 2−x∉Df2-x\notin D_f alors 2−x=02-x=0 ou 2−x=22-x=2

    Donc x=2x=2 ou x=0x=0 absurde car x∈Dfx\in D_f

    ∀x∈Df   ;   2−x∈Df\forall x\in D_f ~~~;~~~2-x\in D_f

    Montrons que f(2−x)+f(x)=2×0f(2-x)+f(x)=2\times0

    f(2−x)+f(x)=2−x−1((2−x)2−2(2−x))2+x−1(x2−2x)2=1−x(4−4x+x2−4+2x)2+x−1(x2−2x)2=1−x(x2−2x)2+x−1(x2−2x)2=0\begin{align*} &f(2-x)+f(x)\\ &=\frac{2-x-1}{((2-x)^2-2(2-x))^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(4-4x+x^2-4+2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(x^2-2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2}=0 \end{align*}

    Et par suite le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)