Correction

• $f(x)=sin(x^2+x+1)$

  La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme composé de deux fonctions dérivables sur $\R$ ($u:x\mapsto sin(x)$ et $v:x \mapsto x^2+x+1$)

  $$f(x)=u\circ v(x)$$ $$(\forall x\in\R) ~;~\left\{ \begin{matrix} u'(x)=cos(x) \\ v'(x)=2x+1 \end{matrix} \right.$$ $$\begin{align*} (\forall x\in\R) ~;~ f'(x)&=u\circ v'(x) \\ &=v'(x)\times u'(v(x)) \\ &=(2x+1)cos(x^2+x+1) \end{align*}$$

• $g(x)=\sqrt{x^2+1}$

  La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composé de deux fonctions dérivables sur $\R$

  ($u:x\mapsto \sqrt{x}$ et $v: x\mapsto x^2+1$)

  $$g(x)=u\circ v(x)$$ $$(\forall x\in\R) ~;~\left\{ \begin{matrix} u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ v'(x)=2x \end{matrix} \right.$$ $$\begin{align*} (\forall x\in\R) ~;~ g'(x)&=u\circ v'(x) \\ &=v'(x)\times u'(v(x)) \\ &=(2x)\times \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{align*}$$

  on peut utiliser la propriété : $(\sqrt{g})'=\dfrac{g'}{2\sqrt{g}}$

  $$g'(x)=\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

• $h(x)=(cos(x)+1)^3$

  La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ comme composé de deux fonctions dérivables

  $$u:x\mapsto x^3~~ \text{ et }~~ v:x\mapsto \cos x+1$$ $$h(x)=u\circ v(x)$$ $$h'(x)=v'(x)\times u'(v(x))$$ $$u'(x)=3x^2 ~~ \text{ et }~~ v'(x)=-\sin x$$ $$u'(v(x))=3(\cos x+1)^2$$ $$\begin{align*} h'(x) &=v'(x)\times u'(v(x)) \\ &=-3\sin x (\cos x+1)^2 \end{align*}$$

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  On peut utilier la propriété : Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et soit $n\in\N$ alors $(f^n)'=nf'f^{n-1}$

  pour $h:x\mapsto (\cos x+1)^3$ on a :

  $$\begin{align*} h'(x)&=3(\cos x+1)'.(\cos x+1)^{3-1}\\ &=-3\sin x (\cos x+1)^2 \end{align*}$$