Correction

1.

• La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ car foncction polynôme et on a :

  $$(\forall x\in\R)~~:u'(x)=4x^3-6x^2+3$$

• La fonction $v$ est dérivable sur $\R$ car foncction polynôme et on a :

$$(\forall x\in\R)~~:v'(x)=2x$$

• La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ car foncction rationnelle définie sur $\R$

  et on a : $(\forall x\in\R)$

  $$\begin{align*}\hspace*{-1cm} f'(x)&=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\ &=\frac{2x^5-2x^4+4x^3-9x^2+2x+3}{(x^2+1)^2} \end{align*}$$

2.

• $g:x\mapsto 2x-\frac{1}{x}$

  La fonction $g$ est dérivable sur $\R^*$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\R^*$ ($x\mapsto2x$ et $x\mapsto\frac{-1}{x}$)

$$(\forall x\in\R^*)~:~f'(x)=2-\frac{-1}{x^2}=2+\frac{1}{x^2}$$

• $h:x\mapsto 2x^2+x\sqrt{x}$

  La fonction $h$ est dérivable sur $\R^*_+$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur $\R^*_+$
  ($x\mapsto 2x^2$ et $x\mapsto x\sqrt{x}$ et $x \mapsto\sqrt{x}$)

  donc on a : $(\forall x\in\R^*_+)$

  $$\begin{align*} f'(x)&=4x+1\times\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt x} \\ &=4x+\sqrt x +x\times \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}^2} \\ &=4x+\sqrt x +\frac{\sqrt{x}}{2} =\frac{8x+3\sqrt{x}}{2} \end{align*}$$