Correction

1.

$$x\in D_f \iff x^2-4 \ne 0$$ $$\begin{align*} x^2-4=0 &\iff (x-2)(x+2)=0 \\ &\iff x-2=0 \text{ ou }x+2=0 \\ &\iff x=2 \text{ ou }x=-2 \end{align*}$$ $$\begin{align*} D_f &=\R-\left\{-2;2\right\} \\ &=]-\infty;-2[\cup]-2;2[\cup]2;+\infty[ \end{align*}$$

2.

• On a $D_f$ est centré en $0$ et $f(-x)=f(x)$

  Donc $f$ est paire

• puisqe $f$ est paire donc la courbe $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

  et donc on peut étudier $f$ sur $D_E=[0,2[\cup]2;+\infty[$

3.

• On a : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$

  Donc la courbe $(C_f)$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$ au voisinge de $+\infty$

• On a $\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$

  Donc la courbe $(C_f)$ admet une asymptote verticale d'équation $x=2$

4.

$f$ est dérivable sur $D_E$ car fonction rationnelle

5.

Soit $x\in D_E$, on a :

$$f'(x) =\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$$

avec $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x^2-4$

donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2x$

$$\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2+1)2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{2x^3-8x-2x^3-2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{-10x}{(x^2-4)^2} \end{align*}$$

6.

Soit $x\in D_E$

pour tout $x\in D_E$ on a ; $f'(x)\le0$

donc $f$ est décroissante sur $D_E$

d'où :

7.

$$\begin{align*} (T)~:~y&=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \\ &=f'(3)(x-3)+f(3) \\ &=-\dfrac65 x + \dfrac{28}5 \end{align*}$$

7.

On trace la courbe $(C_f)$ sur $D_E$ , puis on complète en utilisant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $f$ est une fonction paire.