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Exercice 7

Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par : f(x)=x+2−1xf(x)=x+2-\dfrac{1}{x}

Questions :

  1. Calculer les limites de f(x)f(x) en 0+0^+, 0−0^-, et lorsque x→+∞x \to +\infty et x→−∞x \to -\infty.

  2. Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction ff.

  3. Calculer la dérivée de ff et étudier le signe de f′(x)f'(x) sur R∗\mathbb{R}^*.

    En déduire les variations de ff sur R∗\mathbb{R}^*.

  4. Tracer le graphique de ff en tenant compte des résultats précédents.

Correction

1.

  • lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty car lim⁡x→0+x+2=2\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2 et lim⁡x→0+1x=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty

  • lim⁡x→0−f(x)=+∞\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=+\infty car lim⁡x→0−x+2=2\lim\limits_{x\to0^-}x+2=2 et lim⁡x→0−1x=−∞\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty

  • lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty

    car lim⁡x→−∞x+2=lim⁡x→−∞x=−∞\lim\limits_{x\to-\infty}x+2=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty et lim⁡x→−∞1x=0\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

  • lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

    car lim⁡x→+∞x+2=lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}x+2=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty et lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

2.

  • On a : lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty car lim⁡x→0+x+2=2\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2 et lim⁡x→0+1x=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty

    Donc : la droite d'équation x=0x=0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote virticale à (Cf)(C_f)

  • On a : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

    • Calcule de lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+2−1xx=lim⁡x→+∞xx+2x−1xx=lim⁡x→+∞1+2x−1x2=1\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+2-\frac{1}{x}}{x} \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{x}+\frac{2}{x}-\frac{\frac{1}{x}}{x} \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty}1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\\ &=\fbox{1} \end{align*}

    car

    lim⁡x→+∞2x=lim⁡x→+∞1x2=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0

    donc a=1a=1

    • Calcule de lim⁡x→+∞f(x)−ax\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-ax
    lim⁡x→+∞f(x)−ax=lim⁡x→+∞f(x)−1×x=lim⁡x→+∞x+2−1x−x=lim⁡x→+∞2−1x=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-ax&=\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-1\times x \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} x+2-\frac{1}{x}-x \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} 2-\frac{1}{x} \\ &=\fbox{2} \end{align*}

    Donc la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=x+2y=x+2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty

Remarque : On peut montrer que : lim⁡x→+∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

  • lim⁡x→−∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→−∞1x=0\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

    Donc la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=x+2y=x+2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de −∞-\infty

3.

La fonction ff est dérivable sur R∗\R^* et on a :

f′(x)=1−−1x2=1+1x2>0f'(x)=1-\frac{-1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}>0

et donc la fonction ff est strictement croissante sur R∗\R^*

4.

Tracé de (Cf)(C_f) :

O ~ i ~ j Asymptote oblique ( C f ) ( C f ) (¤) : y = x + 2