📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

f:I↦Rf:I\mapsto \R admet une fonction réciproque f−1:J↦Rf^{-1}:J\mapsto \R

et x0∈Ix_0\in I tel que f(x0)=y0f(x_0)=y_0

si :

  • ff est dérivable en x0x_0
  • f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0

Alors f−1f^{-1} est dérivable en y0=f(x0)y_0=f(x_0) et on a :

(f−1)′(f(x0))=1f′(x0)\boxed{(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}}

Exercice 5

On considère la fonction ff définie sur R+\R^+ par :

f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}
  1. Montrer que ff admet une fonction réciproque définie sur un intervalle JJ à déterminer.
  2. Calculer f(3)f(\sqrt{3}) puis montrer que la fonction f−1f^{-1} est dérivable en 22 et calculer (f−1)′(2)(f^{-1})'(2)

Correction

f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}

  1. on a : ∀x∈R : 1+x2>0\forall x\in\R ~:~1+x^2>0

    ff est dérivable sur R+∗\R^*_+ comme compsoé

    ∀x∈R+∗  ; f′(x)=(1+x2)′21+x2=x1+x2>0\begin{align*} \forall x\in\R^*_+~~;~f'(x)&=\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}} \\ &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}>0 \end{align*}

    Donc ff est strictement croissante sur R+∗\R^*_+

    On a ff est continue et srictement croissante sur R∗+\R^+_*

    Donc la fonction ff admet une fonction réciproque définie sur J=f(R+∗)J=f(\R^*_+)

    J=f(R+∗)=f(]0; +∞[)=]lim⁡x→0+f(x); lim⁡x→+∞f(x)[=]1;+∞[\begin{align*} J &=f(\R^*_+) \\ &=f\left(]0;\ +\infty [\right) \\ &=\left]\lim\limits_{x\to0^+}f(x); \ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[ \\ &=]1;+\infty[ \\ \end{align*}

  2. f(3)=1+32=2f(\sqrt{3})=\sqrt{1+\sqrt{3}^2}=2

    On a : ff est dérivable en 3\sqrt{3}

    et f′(3)=31+32=32≠0f'(\sqrt{3})=\frac{\sqrt3}{\sqrt{1+\sqrt{3}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne0

    Alors f−1f^{-1} est dérivable en 22 et on a :

    (f−1)′(2)=1f′(f−1(2))=1f′(3)=23=233\begin{align*} \left(f^{-1}\right)'(2)&=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(2)\right)} \\ &=\frac{1}{f'(\sqrt3)}\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ &=\frac{2\sqrt3}{3} \end{align*}