NoonMath | منصة الرياضيات التعليمية

Soit la fonction définie par : $\left\{\begin{array}{ll} f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x+1}-1} & \text{;} \ x>0 \\ f(0)=0 \end{array} \right.$

Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en $x_0=0$

Correction

\begin{align*} \lim\limits_{\underset{x >0}{x\to x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &=\lim\limits_{\underset{x >0}{x\to 0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ &=\lim\limits_{\underset{x >0}{x\to 0}}\dfrac{\frac{x^2}{\sqrt{x+1}-1}}{x} \\ &=\lim\limits_{\underset{x >0}{x\to 0}}\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1} \\ &=\lim\limits_{\underset{x >0}{x\to 0}}\dfrac{x(\sqrt{x+1}+1)}{\sqrt{x+1}^2-1^2} \\ &=\lim\limits_{\underset{x >0}{x\to 0}}\sqrt{x+1}+1 \\ &=2 \end{align*}

Alors $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=2$