📝 Exercices de la série▼
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  • Si la limite lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\boxed{\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} existe et finie on la note f′(x0)f'(x_0) et on dit que ff est dérivable en x0x_0 et f′(x0)f'(x_0) est appelé le nombre dérivé de ff en x0x_0
  • (T) : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)(T) ~:~y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) est une équation de la tangente à la courbe de ff au point A(x0,f(x0))A(x_0,f(x_0))

Exercice 1

Montrer que la fonction définie par : f(x)=12x2f(x)=\frac12x^2 est dérivable en x0=2x_0=2 et donner f′(2)f'(2) puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe (Cf)(C_f) au point d'abscisse x0=2x_0=2

Correction

lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→212x2−1222x−2=lim⁡x→212(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→212(x+2)=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} &=\lim\limits_{x\to2} \frac{\frac12x^2-\frac12 2^2}{x-2} \\ &=\lim\limits_{x\to2} \frac{\frac12(x-2)(x+2)}{x-2} \\ &=\lim\limits_{x\to2} \frac12(x+2) \\ &=2 \end{align*}

Donc ff est dérivable en 22 et f′(2)=2f'(2)=2

Une équation de la tangente à la courbe de ff au point A(2,2)A(2,2) est :

(T) : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=2(x−2)+f(2)=2x−2\begin{align*} (T) ~:~y&=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \\ &=2(x-2)+f(2) \\ &=2x-2 \end{align*}