📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

(Théorème des valeurs intermédiaires)
  1. Montrer que l’équation x+x3=3x+x^3=3 admet au moins une solution dans [1,2][1,2]
  2. Montrer que l'équation : cos(x)=xcos(x)=x admet une unique solution dans ]0,π2[\left]0,\frac{\pi}{2}\right[

Correction

  1. Considérons la fonction f définie sur [1,2][1,2] par : f(x)=x+x3f\left(x\right)=x+x^3

    • La fonction ff est continue sur [1,2]\left[1,2\right] car fonction polynôme
    • f(1)=2f\left(1\right)=2 et f(2)=10f\left(2\right)=10 donc 33 compris entre f(1)f(1) et f(2)f(2)

    D’où d'aprés le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=3f\left(x\right)=3 admet au moins une solution dans [1,2][1,2]

  2. Considérons la fonction ff définie sur [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] par : f(x)=cos(x)−xf\left(x\right)=cos(x)-x

    • La fonction ff est continue sur [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right]

    comme somme de deux fonctions continues (x↦cos(x)x\mapsto cos(x) et x↦−xx\mapsto -x)

    • f(0)=cos(0)−0=1f(0)=cos(0)-0=1 et f(π2)=cos(π2)−π2=−π2f(\frac\pi2)=cos(\frac\pi2)-\frac\pi2=-\frac\pi2

    donc f(0)×f(π2)<0f(0)\times f(\frac\pi2) <0

    Donc l'équation f(x)=0f(x)=0 admet au moins une solution α∈]0,π2[\alpha\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[

    • Pour l'unicité : montrons que ff est strictement monotone

    On a ∀x∈]0,π2[  : f′(x)=−sin(x)−1=−(sin(x)+1)\forall x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[~~:~f'(x)=-sin(x)-1=-(sin(x)+1)

    On sait que : −1≤sin(x)≤1-1\le sin(x) \le 1 donc −(sin(x)+1)≤0-(sin(x)+1)\le0

    Donc ∀x∈]0,π2[  : f′(x)≤0\forall x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[~~:~f'(x)\le0 et donc la fonction ff est croissante sur [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right]

    D’où la solution est unique