📝 Exercices de la série▼
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Exercice 5

Dans chaque cas, étudier la continuité de la fonction ff sur II

  • f : x↦ x3+3x2−4x+7f \ : \ x\mapsto\ x^3+3x^2-4x+7 et I=RI=\R

  • f :  x↦x2+x+1x−2f \ : \ \ x\mapsto\frac{x^2+x+1}{x-2} et I=]2;+∞[I=]2 ; +\infty[

  • f :  x↦ 3x4+x2+1+xf\ :\ \ x\mapsto\ 3x^4+x^2+1+\sqrt x et I=[0 ; +∞[I=[0\ ;\ +\infty[

  • f : x↦(x2+1)sin⁡(x)f\ : \ x\mapsto\left(x^2+1\right)\sin{\left(x\right)} et I=RI=\R

  • f : x↦−x2+4f\ : \ x\mapsto\sqrt{-x^2+4} et I=[−2, 2]I=[-2, \ 2]

Correction

  • La fonction f : x↦ x3+3x2−4x+7f \ : \ x\mapsto\ x^3+3x^2-4x+7 est continue sur R\mathbb{R} parce qu’elle est une fonction polynômiale.

  • La fonction f :  x↦x2+x+1x−2f \ : \ \ x\mapsto\frac{x^2+x+1}{x-2} est continue sur ]2;+∞[]2 ; +\infty[ parce qu’elle est une fonction rationnelle et ]2;+∞[⊂R−{−2}]2 ; +\infty[\subset\mathbb{R}-\left\{-2\right\}

  • La fonction f :  x↦ 3x4+x2+1+xf\ :\ \ x\mapsto\ 3x^4+x^2+1+\sqrt x est continue sur [0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[ en tant que somme de deux fonctions continues sur [0;  +∞[[0;\ \ +\infty[ qui sont x↦ 3x4+x2+1x\mapsto\ 3x^4+x^2+1 et x↦ xx\mapsto\ \sqrt x

  • La fonction f : x↦(x2+1)sin⁡(x)f\ : \ x\mapsto\left(x^2+1\right)\sin{\left(x\right)} est continue sur R\mathbb{R} en tant que produit de deux fonctions continues sur R\mathbb{R} qui sont x↦ x2+1x\mapsto\ x^2+1 et x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin{\left(x\right)}

  • f(x)=−x2+4f(x)=\sqrt{-x^2+4}

    • On a la fonction x↦−x2+4x\mapsto -x^2+4 est continue sur [−2, 2][-2, \ 2] (car fonction polynôme)
    • ∀x∈[−2,2] ; −x2+4≥0\forall x\in[-2,2]~;~-x^2+4\ge0

    D’où la fonction ff est continue sur [−2,2][-2,2]