📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

On considère la fonction f définie sur R\mathbb{R} par : f(x)= x2− 4x − 1f\left(x\right)=\ x^2-\ 4x\ -\ 1

dont le tableau de variations de ff est :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nf\n(\nx\n)\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n−1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n−\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Déterminer l’image des intervalles suivants [−2,3][-2,3] , [0,1]\left[0,1\right], et [−2,4][-2,4] par ff

Correction

La fonction ff est continue sur R\mathbb{R} car fonction polynôme

  • ff est strictement décroissante sur ]−∞;2]]-\infty;2] \par donc :
f(]−∞;2])=[f(2) ; lim⁡x→−∞f(x)[=[−5; +∞[f\left(\left]-\infty;2\right]\right)=\left[f\left(2\right)\ ;\ \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{f\left(x\right)}\right[=\left[-5;\ +\infty\right[
  • ff est strictement croissante sur [2 ; +∞[\left[2\ ;\ +\infty\right[ \par donc :
f([2 ; +∞[)=[f(2) ; lim⁡x→+∞f(x)[=[−5; +∞[f\left(\left[2\ ;\ +\infty\right[\right)=\left[f\left(2\right)\ ;\ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{f\left(x\right)}\right[=\left[-5;\ +\infty\right[
  • ff est strictement décroissante sur ]−1;1]]-1;1] \par donc :
f(]−1,1])=[f(1); lim⁡x→−1+f(x)[=[−4; 4[f\left(\left]-1, 1\right]\right)=\left[f(1); \ \lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\right[=\left[-4;\ 4\right[