📝 Exercices de la série▼
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On dit que une fonction ff est continue au point x0x_0 si et seulement si :

lim⁡x<x0x→x0f(x)=lim⁡x>x0x→x0f(x)=f(x0)\boxed{\lim\limits_{\overset{x\to x_0}{x< x_0}}f(x)=\lim\limits_{\overset{x\to x_0}{x> x_0}}f(x)=f(x_0)}

Exercice 2

étudier la continuité des fonctions ff en x0x_0 :

{f(x)=x+1si  x<1f(x)=−x+3si  x>1f(1)=2\left\{\begin{array}{ll}f\left(x\right)=x+1 & \text{si } \ x<1 \\f\left(x\right)=-x+3 & \text{si } \ x>1 \\ f(1)=2 & \end{array}\right.

Correction

  • lim⁡x<1x→1f(x)=lim⁡x<1x→1x+1=2\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x<1}}f(x)=\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x<1}} x+1=2

    Donc lim⁡x<1x→1f(x)=f(1)\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x<1}}f(x)=f(1)

    et donc la fonction ff est continue à gauche en 11

  • lim⁡x>1x→1f(x)=lim⁡x>1x→1−x+3=2\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x>1}}f(x)=\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x>1}} -x+3=2

    Donc lim⁡x>1x→1f(x)=f(1)\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x>1}}f(x)=f(1)

    et donc la fonction ff est continue à droite en 11

  • Comme lim⁡x<1x→1f(x)=lim⁡x>1x→1f(x)=f(1)\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x<1}}f(x)=\lim\limits_{\overset{x\to 1}{x>1}}f(x)=f(1)

    alors la fonction ff est continue en 11