📝 Exercices de la série▼
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Exercice 12

Soit ff la fonction définie sur R\R par :

f(x)=x5+x−1f(x)=x^5+x-1
  1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha dans R\R et que α∈]0;1[ \alpha\in]0;1[
  2. Donner le signe de f(x)f(x) pour tout x∈Rx\in\R
  3. Montrer que ff admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur un intervalle JJ à déterminer.
  4. Déterminer f−1(0)f^{-1}(0)

Correction

1.

La fonction ff est continue sur R\R car ff est une plynome

Pour tout x∈Rx\in \R on a f′(x)=5x4+1>0f'(x)=5x^4+1>0

Donc ff est srtictement croissante sur R\R

lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x5=−∞\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^5=-\infty

et lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x5=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^5=+\infty

Donc f(R)=f(]−∞;+∞[)=]−∞;+∞[=Rf(\R)=f\left(]-\infty;+\infty[\right)=]-\infty;+\infty[=\R

Donc 0∈f(R)0\in f(\R)

D'ou l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha dans R\R

On a f(0)=−1f(0)=-1 et f(1)=1f(1)=1 donc f(0)×f(1)<0f(0)\times f(1)<0

Donc α∈]0;1[\alpha\in]0;1[

2.

le signe de f(x)f(x) pour tout x∈Rx\in\R

x−∞α+∞f(x)−0+\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty && &&\alpha && && +\infty \\ \hline f(x) & &&-&& 0 &&+&& \\ \hline \end{array}
3.

On a ff est continue et srtictement croissante sur R\R

Alors elle admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur J=f(R)=RJ=f(\R)=\R

4.

On a f(α)=0f(\alpha)=0 donc f−1(0)=αf^{-1}(0)=\alpha