📝 Exercices de la série▼
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On dit que une fonction ff est continue au point x0x_0 si

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f\left(x\right)=f(x_0)}}

Exercice 1

étudier la continuité des fonctions ff et gg au point x0x_0 :

  • {f(x)=x2−1x−1si  x≠1f(1)=2    \left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} & \text{si } \ x\ne1 \\f(1)=2 & \end{array}\right. ~~~~ et x0=1x_0=1

  • {g(x)=sin(x)2xsi  x≠0g(0)=1    \left\{\begin{array}{ll}g(x)=\frac{sin(x)}{2x} & \text{si } \ x\ne0 \\g(0)=1 & \end{array}\right. ~~~~ et x0=0x_0=0

Correction

  • On a

    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x2−1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=lim⁡x→1x+1=1+1=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to 1 }{f\left(x\right)} &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} \\ &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ &=\lim\limits_{x\to 1} x+1 \\ &=1+1 \\ &=2 \end{align*}

    et on a : f(1)=2f(1)=2

    Donc lim⁡x→1  f(x)=f(1)\lim\limits_{x\rightarrow1\ }\ f\left(x\right)=f(1)

    Et par suite : la fonction ff est continue en 11

  • On a

    lim⁡x→0 g(x)=lim⁡x→0 sin⁡(x)2x=lim⁡x→0 12sin⁡(x)x=12×1=12\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0\ }{g\left(x\right)} &=\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\frac{\sin{\left(x\right)}}{2x} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\frac{1}{2}\frac{\sin{\left(x\right)}}{x} \\ &=\frac{1}{2}\times1 \\ &=\frac{1}{2} \end{align*}

    et on a g(0)=1g(0)=1

    Donc lim⁡x→0  g(x)≠g(0)\lim\limits_{x\rightarrow0\ }\ g\left(x\right)\neq g(0)

    Et par suite : la fonction gg n’est pas continue en 00