📝 Exercices de la série▼
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Exercice 11

Soit ff la fonction définie sur R\R par :

{f(x)=x3−x+3;  x>0f(x)=x−3x−1;  x<0f(0)=3\left\{\begin{array}{ll}f(x)=x^3-x+3 & \text{; } \ x>0 \\f(x)=\frac{x-3}{x-1} & \text{; } \ x<0 \\f(0)=3 & \end{array}\right.
  1. Etudier la contnuité de ff à droite et à gauche en x0=0x_0=0
  2. La fonction ff est elle continue en 00 ?
  3. Etudier la continuité de ff sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ et sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[
  4. La fonction ff est elle continue sur R\R ?

Correction

  1. lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0x3−x+3=3=f(0)\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}} f(x)=\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}} x^3-x+3=3=f(0)

Donc ff et continue à droite en 00

  1. lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0x−3x−1=3=f(0)\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}} f(x)=\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}} \frac{x-3}{x-1}=3=f(0)

Donc ff et continue à gauche en 00

  1. Puisque ff est continue à droite et à gauche en 00

Alors elle est continue en 00

  • Sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[

    on a ff est une fonction rationnelle définie sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[

    donc ff est continue sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[

  • Sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[

    on a ff est une fonction polynomiale

    donc ff est continue sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[

  1. D'après les questions précédentes on a :
  • ff est continue en 00
  • ff est continue sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[
  • ff est continue sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[

Donc ff est continue sur R\R