تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Le produit scalaire dans le plan (analytique)

Exercice 9 (Devoir)

On considère dans le plan le cercle (C)(C) d’équation : x2+y2−4x−2y=0x^2+y^2-4x-2y=0 et (D)(D) la droite qui passe par le point A(5,0)A(5,0) et qui admet n⃗(2,1)\vec{n}(2,1) comme vecteur normal.

  1. Vérifie que H(4,2)∈(C)H(4,2)\in(C)
  2. Vérifie que 2x+y−10=02x+y-10=0 est une équation cartésienne de la droite (D)(D)
  3. Montrer que le cercle (C)(C) est de centre Ω(2,1)\Omega(2,1) et de rayon r=5r=\sqrt{5}
  4. Calculer d(Ω,(D))d(\Omega,(D)) la distance de Ω\Omega à (D)(D)
  5. En déduire la position relative de la droite (D)(D) et le cercle (C)(C)
  6. Vérifie que H∈(D)H\in(D) puis conclure.

  1. On a : 42+22−4×4−2×2=16+4−16−4=04^2+2^2-4\times4-2\times2=16+4-16-4=0, donc H(4,2)∈(C)H(4,2)\in(C)

  2. M(x,y)∈(D)  ⟺  AM→.n⃗=0  ⟺  (x−5y).(21)=0  ⟺  2(x−5)+y=0  ⟺  2x+y−10=0 \begin{align*} M(x,y)\in(D) &\iff \overrightarrow{AM}.\vec{n}=0\\ &\iff \begin{pmatrix} x-5 \\y \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}=0\\ &\iff 2(x-5)+y=0 \\ &\iff 2x+y-10=0 \end{align*}

    Donc 2x+y−10=02x+y-10=0 est une équation de (D)(D)

  3. M(x,y)∈(C)  ⟺  x2+y2−4x−2y=0  ⟺  x2−4x+22+y2−2y+12=22+12  ⟺  (x−2)2+(y−1)2=52\begin{align*} &M(x,y)\in(C)\\ &\iff x^2+y^2-4x-2y=0 \\ & \iff x^2-4x+2^2+y^2-2y+1^2=2^2+1^2 \\ & \iff (x-2)^2+(y-1)^2=\sqrt5^2 \end{align*}

    Donc le cercle (C)(C) est de centre Ω(2,1)\Omega(2,1) et de rayon r=5r=\sqrt{5}

  4. Calculer d(Ω,(D))d(\Omega,(D)) la distance de Ω\Omega à (D)(D)

d(Ω,(D))=∣axω+byΩ+c∣a+b2=∣2×2+1−10∣22+12=55=555=5\begin{align*} d(\Omega,(D)) &=\dfrac{|ax_\omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^+b^2}} \\ &=\dfrac{|2\times2+1-10|}{\sqrt{2^2+1^2}} \\ &=\dfrac{5}{\sqrt5} \\ &=\dfrac{5\sqrt5}{5} \\ &=\sqrt5 \end{align*}

  1. On a : d(Ω,(D))=rd(\Omega,(D))=r, donc la droite (D)(D) est tangente à (C)(C) en un point.

  2. une équation de (D)(D) est : 2x+y−10=02x+y-10=0

    pour H(4,2)H(4,2) on a 2×4+2−10=02\times4+2-10=0,

    donc H∈(D)H\in(D)

    et comme H∈(C)H\in(C), alors la droite (D)(D) est tangente à (C)(C) en HH