Le produit scalaire dans le plan (analytique)

تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Considèrons le cercle $(C)$ de centre $\Omega(0,1)$ et de rayon $R=1$ et $(D)$ la droite d’équation : $x+y-2=0$

Montrer que la droite $(D)$ coupe le cercle $(C)$ en deux points distincts $A$ et $B$
Donner une représentation paramétrique de $(D)$
Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$

Correction

\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\dfrac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\dfrac{|0+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{\sqrt2}{2}<1 \end{align*}

donc : $d(\Omega,(D))<R$ , et par suite la droite $(D)$ coupe le cercle $(C)$ en deux points distincts $A$ et $B$

on a : le vecteur $\vec{u}(-b,a)$ c-à-d $\vec{u}(-1,1)$ est un vecteur directeur de $(D)$ et $C(2,0)\in(D)$ donc :

\left\{\begin{matrix}x=2-t \\ y=t~~~\end{matrix}\right. ~(t\in\R)

est une représentation paramétrique de $(D)$

Supposons que $(D)$ coupe $(C)$ en $H(x,y)$ et cherchons $x$ et $y$ une équation de $(C)$ est : $(x-0)^2+(y-1)^2=1$

\begin{align*} &H(x,y)\in(C)\cap(D) \iff \left\{\begin{matrix}x=2-t &(1)\\y=t &(2)\\x^2+(y-1)^2=1 &(3)\\\end{matrix}\right. \end{align*}

\begin{align*} &H(x,y)\in(C)\cap(D) \\&\iff \left\{\begin{matrix}x=2-t &(1)\\y=t &(2)\\x^2+(y-1)^2=1 &(3)\\\end{matrix}\right. \end{align*}

rmplacons $(1)$ et $(2)$ dans $(3)$ , alors $(2-t)^2+(t-1)^2=1$ donc $2t^2-6t+4=0$

et donc $t^2-3t+2=0$

$\Delta=9-8=1$

L’équation admet deux solutions : $\left\{\begin{matrix}t_1=\frac{3+1}{2}=2\\t_2=\frac{3-1}{2}=1\\\end{matrix}\right.$

En remplacant $t$ dans $(1)$ et $(2)$

et donc on prend $A(0,2)$ et $B(1,1)$

\begin{align*} M(x,y)\in(C')&\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \\ &\iff \begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x+1 \\ y-1\end{pmatrix}=0 \\ &\iff (x-1)(x+1)+(y-3)(y-1)=0 \\ & \iff x^2+y^2-4y+2=0 \end{align*}

\begin{align*} &M(x,y)\in(C')\\ &\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \\ &\iff \begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x+1 \\ y-1\end{pmatrix}=0 \\ &\iff (x-1)(x+1)+(y-3)(y-1)=0 \\ & \iff x^2+y^2-4y+2=0 \end{align*}