تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Le produit scalaire dans le plan (analytique)

Exercice 5

  1. Déterminer une équation du cercle (C)(C) de centre Ω(1,−1)\Omega(1,-1) et de rayon R=2R=\sqrt{2}
  2. Déterminer une équation du cercle (C′)(C') de diamètre [AB][AB] tel que A(1;3)A(1;3) et B(−1;1)B(-1;1)

  1. Une équation du cercle (C)(C) de centre Ω(1,−1)\Omega(1,-1) et de rayon R=2R=\sqrt{2}

    est : (x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2

    (x−1)2+(y+1)2=(2)2(x-1)^2+(y+1)^2=(\sqrt{2})^2

    que l’on peut l’écrire : x2+y2−2x+2y=0x^2+y^2-2x+2y=0

  • 1re méthode :

    on a le centre du cercle (C′)(C') est le point Ω′(xA+xB2;yA+yB2)\Omega'\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right) milieu de [AB][AB] c-à-d : Ω(0;2)\Omega(0;2) et le rayon de (C′)(C') est R=AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)22=2R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}{2}=\sqrt{2}

    Donc une équation de (C′)(C') est : (x−0)2+(y−2)2=(2)2(x-0)^2+(y-2)^2=(\sqrt2)^2

    que l’on peut l’écrire : x2+y2−4y+2=0x^2+y^2-4y+2=0

  • 2éme méthode :

    M(x,y)∈(C′)  ⟺  AM→.BM→=0  ⟺  (x−1y−3).(x+1y−1)=0  ⟺  (x−1)(x+1)+(y−3)(y−1)=0  ⟺  x2+y2−4y+2=0\begin{align*} &M(x,y)\in(C')\\ &\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \\ &\iff \begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x+1 \\ y-1\end{pmatrix}=0 \\ &\iff (x-1)(x+1)+(y-3)(y-1)=0 \\ & \iff x^2+y^2-4y+2=0 \end{align*}