تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Le produit scalaire dans le plan (analytique)

Exercice 2

  1. Calculer u⃗.v⃗\vec{u}.\vec{v}, u⃗.w⃗\vec{u}.\vec{w} et v⃗.w⃗\vec{v}.\vec{w} où u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}, v⃗=2i⃗−j⃗\vec{v}=2\vec{i}-\vec{j} et w⃗=−2i⃗+2j⃗\vec{w}=-2\vec{i}+2\vec{j}

  2. Soient a⃗(−42)\vec{a}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix} et b⃗(12)\vec{b}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} deux vecteurs du plan,

    Montrer que les vecteurs a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} sont orthogonaux

  3. Déterminer une mesure orienté de (AB→;AC→^)\left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}\right) où A(3,3)A(3,3), B(1,1)B(1,1) et C(1,3)C(1,3)

  1. On a u⃗(1;2)\vec{u}(1;2) , v⃗(2;−1)\vec{v}(2;-1) et w⃗(−2;2)\vec{w}(-2;2)

    • u⃗.v⃗=1×2+2×(−1)=0\vec{u}.\vec{v}=1\times2+2\times(-1)=0
    • u⃗.w⃗=1×(−2)+2×2=2\vec{u}.\vec{w}=1\times(-2)+2\times2=2
    • v⃗.w⃗=2×(−2)+(−1)×2=−6\vec{v}.\vec{w}=2\times(-2)+(-1)\times2=-6

  2. comme a⃗.b⃗=−4×1+2×2=0\vec{a}.\vec{b}=-4\times1+2\times2=0

    Donc a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} sont orthogonaux

1 3 1 4 O

  1. On a : AB→(−2;−2)\overrightarrow{AB}(-2;-2) et AC→(−2;0)\overrightarrow{AC}(-2;0) donc :

    • AB=(−2+(−2)2)=22AB=\sqrt{(-2+(-2)^2)}=2\sqrt{2}
    • AC=(2)2+02=2AC=\sqrt{(2)^2+0^2}=2
    • AB→.AC→=(−2)×(−2)+(−2)×0=4\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-2)\times(-2)+(-2)\times0=4
    • det(AB→,AC→)=∣−2−2−20∣=−4det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left|\begin{matrix}-2 & -2 \\-2 & 0\end{matrix}\right|=-4

    D’où :

    cos(AB→,AC→‾)=AB→.AC→AB.AC=442=22        (1)\begin{align*} cos\left(\overline{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right) &=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC} \\ &=\dfrac{4}{4\sqrt2}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}~~~~~~~~(1) \end{align*}
    sin(AB→,AC→‾)=det(AB→,AC→)AB.AC=−442=−22        (2)\begin{align*} sin\left(\overline{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right) &=\dfrac{det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)}{AB.AC} \\ &=\dfrac{-4}{4\sqrt2} \\ &=\dfrac{-\sqrt2}{2}~~~~~~~~(2) \end{align*}

    De (1) et (2) on déduit que −π4-\dfrac\pi4 est une mesure de l’angle orienté (AB→;AC→^)\left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}\right)