Le produit scalaire dans le plan (analytique)

تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Etudier la position relative du cercle $(C)$ et la droite $(D)$ , dans chacun des cas suivants :

cas 1

$(C)~:~(x-1)^2+(y+1)^2=5$ et $(D)~:~2x+y+4=0$

cas 2

$(C)~:~x^2+y^2+4x-2y=0$ et $(D)~:~6x-3y+10=0$

cas 3

$(C)~:~(x+4)^2+(y-5)^2=40$ et $(D)~:~5x-4y-1=0$

Correction

cas 1

$(C)~:~(x-1)^2+(y+1)^2=5$ et $(D)~:~2x+y+4=0$

$(C)$ est un cercle de centre $\Omega(1;-1)$ et de rayon $R=\sqrt5$

\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|2\times1-1+4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt5} \\&=\sqrt5 \end{align*}

Donc $d(\Omega,(D))=R$ , et donc $(D)$ est tangente au cercle $(C)$

cas 2

$(C)~:~x^2+y^2+4x-2y=0$ et $(D)~:~6x-3y+10=0$

\begin{align*} &x^2+y^2+4x-2y=0 \\ &\iff (x^2+4x)+(y^2-2y)=0 \\ &\iff (x+2)^2-4+(y-1)^2-1=0\\ &\iff (x+2)^2-4+(y-1)^2=\sqrt5^2 \end{align*}

Donc $(C)$ est un cercle de centre $\Omega(-2;-1)$ et de rayon $R=\sqrt{5}$

\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|6\times(-2)-3\times(-1)+10|}{\sqrt{6^2+(-3)^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{45}}=\frac{\sqrt{45}}{45} =\frac{\sqrt{5}}{15} \end{align*}

Donc $d(\Omega,(D))<R$ , et donc la droite $(D)$ coupe le cercle $(C)$ en deux points distincts.

cas 3

$(C)~:~(x+4)^2+(y-5)^2=40$ et $(D)~:~5x-4y-1=0$

$(C)$ est un cercle de centre $\Omega(-2;1)$ et de rayon $R=\sqrt{40}$

\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|5\times(-4)-4\times5-1|}{\sqrt{5^2+(-4)^2}} \\ &=\frac{41}{\sqrt{41}}=\sqrt{41} \end{align*}

Donc $d(\Omega,(D))>R$ , et donc la droite $(D)$ ne coupe pas le cercle $(C)$