📝 Exercices de la série▼
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Exercice 22

Considérons les points AA et CC d'affixes respectives : a=9−ia = 9 - i et c=11−ic = 11 - i
Soit RR la rotation de centre AA et d'angle 3π2\dfrac{3\pi}{2}.

Le point M(z)M(z) est transformé en M′(z′)M'(z') par la rotation RR.

  1. Montrer que z′=−iz+10+8iz' = -iz + 10 + 8i
  2. Vérifier que c′=9−3ic' = 9 - 3i est l'affixe du point C′C' image de CC par la rotation RR.

Rappel : Si RR est une rotation de centre Ω(zΩ)\Omega(z_{\Omega}) et d'angle θ\theta, alors l’image M′(z′)M'(z') d’un point M(z)M(z) par RR vérifie :

z′−zΩ=eiθ(z−zΩ)z'-z_{\Omega}=e^{i\theta}(z-z_{\Omega})

1/ \quadici : zΩ=zA=9−iz_{\Omega}=z_A=9-i et θ=3π2\theta=\dfrac{3\pi}{2}

z′=eiθ(z−zΩ)+zΩ=ei3π2(z−9+i)+9−i=−i(z−9+i)+9−i=−iz+9i+1+9−i=−iz+10+8i\begin{align*} z' &=e^{i\theta}(z-z_{\Omega})+z_{\Omega} \\ &=e^{i\frac{3\pi}{2}}(z-9+i)+9-i\\ &=-i(z-9+i)+9-i\\ &=-iz+9i+1+9-i \\ &=-iz+10+8i \end{align*}

2/ C′\quad C' image de CC par RR

Donc C′=R(C)C'=R(C)

et donc

c′=−ic+10+8i=−i(11−i)+10+8i=−11i−1+10+8i=9−3i\begin{align*} c' &=-ic+10+8i\\ &=-i(11-i)+10+8i \\ &=-11i-1+10+8i\\ &=9-3i \end{align*}