1/

$$\begin{align*} z^2 = 4 &\iff z = \sqrt{4} \text{ ou } z = -\sqrt{4}\\ &\iff z=2 \text{ ou } z=-2 \end{align*}$$ $$\begin{align*} z^2 = -4 &\iff z^2 = 4i^2\\ &\iff z^2 = (2i)^2\\ &\iff z=2i \text{ ou } z=-2i \end{align*}$$

---

2/

$\bullet\quad$ Pour $z^2 - z + 1 = 0$, on a :

$$a = 1, \quad b = -1, \quad c = 1$$ $$\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 \\ &= -3 \end{align*}$$

Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$$z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$$

$\bullet\quad$ Pour $2z^2 + z + 3 = 0$, on a :

$$a = 2, \quad b = 1, \quad c = 3$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = -23$$

Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$$z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{4}, \quad z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{4}$$

$\bullet\quad$ Pour $3(z-i)^2 + 2(z-i) + 1 = 0$ :

Posons $w = z - i$, on obtient :

$$3w^2 + 2w + 1 = 0$$ $$a = 3, \quad b = 2, \quad c = 1$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = -8$$

Comme $\Delta < 0$, $w$ admet deux solutions complexes conjuguées :

$$w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}, \quad w_2 = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}$$

En revenant à $z$ :

$$z_1 = i + w_1 = \frac{2 + i\sqrt{2}}{3}, \quad z_2 = i + w_2 = \frac{2 - i\sqrt{2}}{3}$$