📝 Exercices de la série▼
Exercice 14Exercice 15Exercice 16Exercice 17Exercice 18Exercice 19Exercice 20Exercice 21Exercice 22Exercice 23Exercice 24

Exercice 21

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)\left(O,\vec{u},\vec{v}\right) , considèrons les points AA, BB et Ω\Omega d'affixes respectives : a=1+ia=1+i, b=2b=2 et ω=2i\omega=2i et soit hh l'homothétie de centre Ω\Omega et qui transforme AA en BB

  1. Déterminer kk le rapport de l'homothétie hh
  2. Déterminer cc l'affixe du point CC tel que AA est l'image de CC par hh
a=1+i,b=2etω=2ia=1+i,\quad b=2\quad \text{et}\quad \omega=2i

Rappel : Si hh est une homothétie de centre Ω(zΩ)\Omega(z_{\Omega}) et de rapport kk, alors l’image M′(z′)M'(z') d’un point M(z)M(z) par hh vérifie :

z′−zΩ=k(z−zΩ)z'-z_{\Omega}=k(z-z_{\Omega})

1/ ici zΩ=ωz_{\Omega}=\omega

z′−ω=k(z−ω)z' - \omega = k(z - \omega)

on a , h(A)=Bh(A) = B, donc :

b−ω=k(a−ω)b - \omega = k(a - \omega)   ⟹  k=b−ωa−ω=2−2i1−i=2(1−i)1−i=2\begin{align*} \implies k&=\dfrac{b-\omega}{a - \omega} =\dfrac{2-2i}{1-i}\\&=\dfrac{2(1-i)}{1-i}=2 \end{align*}

2/

On cherche cc tel que h(C)=Ah(C) = A, donc :

a−ω=k(c−ω)a - \omega = k(c - \omega)

On remplace par les affixes :

1+i−2i=2(c−2i)1−i=2(c−2i)1 + i - 2i = 2(c - 2i) \\ 1 - i = 2(c - 2i)

On isole cc :

c−2i=1−i2c=1−i2+2i=1−i+4i2=1+3i2\begin{align*} c - 2i &= \frac{1 - i}{2} \\ c &= \frac{1 - i}{2} + 2i \\&= \frac{1 - i + 4i}{2} = \frac{1 + 3i}{2} \end{align*}