1/

on a $|z| = 2$ donc

$$\begin{align*} z &= 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=2(\cos\dfrac\pi4+i.\sin\dfrac\pi4) \end{align*}$$

Donc $|z| = 2$ et $\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4} ~[2\pi]$,

alors : $z = 2e^{i\dfrac{\pi}{4}}$ est la notation exponentielle de $z$.

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2/

• Pour $z_1 = 2 + 2i$ :

  $$|z_1| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$$

  donc

  $$\begin{align*} z_1 &= 2\sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 2\sqrt{2} \left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right) \\ &= 2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}} \end{align*}$$

• Pour $z_2 = 1 - i\sqrt{3}$ :

  $$|z_2| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$$

  donc

  $$\begin{align*} z_2 &= 2 \left( \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ & = 2 \left( \cos \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) \right) \\ &= 2e^{-i\dfrac{\pi}{3}} \end{align*}$$

• Produit $z_1 \times z_2$ :

  $$\begin{align*} z_1 \times z_2 &= (2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}}) \cdot (2 e^{-i \dfrac{\pi}{3}}) \\ &= 4\sqrt{2} e^{i\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}\right)} \\ &= 4\sqrt{2} e^{i\dfrac{\pi}{12}} \end{align*}$$

• Quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ :

  $$\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}}}{2 e^{-i \dfrac{\pi}{3}}} \\ &= \sqrt{2} e^{i \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{-\pi}{3} \right)} \\ &= \sqrt{2} e^{i \dfrac{7\pi}{12}} \end{align*}$$