📝 Exercices de la série▼
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Exercice 17

Soit θ\theta un nombre réel, posons : z=eiθz = e^{i\theta}

  1. Calculer z+zˉz + \bar{z} puis déduire cos⁡(θ)\cos(\theta) en fonction de θ\theta
  2. Calculer z−zˉz - \bar{z} puis déduire sin⁡(θ)\sin(\theta) en fonction de θ\theta

1/ Calculons z+zˉz + \bar{z} :

z+zˉ=2Re⁡(z)=2cos⁡θz + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z) = 2 \cos \theta

Donc :

cos⁡(θ)=z+zˉ2=eiθ+e−iθ2\cos(\theta) = \dfrac{z + \bar{z}}{2} = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

2/ Calculons z−zˉz - \bar{z} :

z−zˉ=2iIm⁡(z)=2isin⁡θz - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z) = 2i \sin \theta

Donc :

sin⁡(θ)=z−zˉ2i=eiθ−e−iθ2i\sin(\theta) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i} = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}