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Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$

Soit $M^\prime(z^\prime)$ l'image d'un point $M(z)$ par la translation $T$ de vecteur $\vec{w}(1,2)$

Exprimer $z^\prime$ en fonction de $z$
Déterminer $z_A$ l'affixe du point $A$ image de $B(4+3i)$ par la translation $T$
Déterminer $z_C$ l'affixe du point $C$ tel que le point $E(1+i)$ est l'image de $C$ par la translation $T$

Correction

comme $\vec{w}(1,2)$ alors $z_{\vec{w}}=1+2i$

\begin{align*} T(M)=M' &\iff z'=z+z_{\vec{w}} \\ &\iff z'=z+1+2i \end{align*}

$A(z_A)$ image de $B(4+3i)$ par $T$ signifie que $T(B)=A$

$z_A=z_B+1+2i$

Alors

$\begin{aligned}z_A&=4+3i+1+2i\\&=5+5i\end{aligned}$

On cherche $z_C$ tel que :

T(C) = E \iff z_E = z_C + z_{\vec{w}} \\ \iff 1 + i = z_C + 1 + 2i

En isolant $z_C$ :

\begin{aligned} z_C &= 1 + i - 1 - 2i \\ &= -i \end{aligned}