📝 Exercices de la série▼
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Exercice 20

le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)

Soit M′ M^\prime un point d'affixe z′z^\prime l'image d'un point MM d'affixe zz tel que : z′=z+1−iz^\prime=z+1-i

  1. Déterminer l'affixe du vecteur MM′→\overrightarrow{MM'}
  2. Déduire la nature du transformation qui transforme MM en M′M'
  3. Donner l'écriture complexe du translation qui transforme le point E(1+i)E(1+i) en F(2−i)F(2-i)

1/

L’affixe du vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est donnée par :

zMM′→=z′−z=(z+1−i)−z=1−iz_{\overrightarrow{MM'}} = z' - z = (z + 1 - i) - z = 1 - i

2/

La transformation associe à chaque point M(z)M(z) son image M′(z′)M'(z') telle que :

z′=z+1−iz' = z + 1 - i

C’est donc une translation de vecteur d’affixe 1−i1 - i.

3/

Soit zE=1+iz_E = 1 + i et zF=2−iz_F = 2 - i.

La translation transforme EE en FF donc :

zF=zE+zw⃗⇒zw⃗=zF−zE=(2−i)−(1+i)=1−2iz_F = z_E + z_{\vec{w}} \quad \Rightarrow \quad z_{\vec{w}} = z_F - z_E = (2 - i) - (1 + i) = 1 - 2i

Écriture complexe de la translation :

z′=z+1−2iz' = z + 1 - 2i