📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

Montrer que (9n+1+9n)2(32n+1−32n)2∈N\dfrac{\left(9^{n+1}+9^{n}\right)^2}{\left(3^{2n+1}-3^{2n}\right)^2}\in\N pour tout n∈Nn\in\N

on a :

9n+1+9n=9n×9+9n=9n(9+1)=10×9n\begin{align*} 9^{n+1}+9^{n}&=9^{n}\times9+9^{n}\\ &=9^{n}(9+1)\\ &=10\times9^{n} \end{align*} 32n+1−32n=32n×3−32n=32n(3−1)=2×32n\begin{align*} 3^{2n+1}-3^{2n}&=3^{2n}\times3-3^{2n}\\ &=3^{2n}(3-1)\\ &=2\times3^{2n} \end{align*}

donc :

(9n+1+9n)2(32n+1−32n)2=(10×9n)2(2×32n)2=(10×9n2×32n)2=(5×32n32n)2=25\begin{align*} \dfrac{\left(9^{n+1}+9^{n}\right)^2}{\left(3^{2n+1}-3^{2n}\right)^2} &=\dfrac{\left(10\times9^n\right)^2}{\left(2\times3^{2n}\right)^2}\\ &=\left(\dfrac{10\times9^n}{2\times3^{2n}}\right)^2\\ &=\left(\frac{5\times3^{2n}}{3^{2n}}\right)^2=25 \end{align*}

et donc : (9n+1+9n)2(32n+1−32n)2∈N\dfrac{\left(9^{n+1}+9^{n}\right)^2}{\left(3^{2n+1}-3^{2n}\right)^2}\in\N pour tout n∈Nn\in\N