📝 Exercices de la série▼
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Exercice 5

Factoriser les expressions suivantes :

  • A=x3−8+4(x2−4)−3x+6A=x^3-8+4(x^2-4)-3x+6
  • B=x3+1+2(x2−1)−(x+1)B=x^3+1+2(x^2-1)-(x+1)
  • Pour AA
x3−8=x3−23=(x−2)(x2−x×2+22)=(x−2)(x2−2x+4)\begin{align*} x^3-8&=x^3-2^3 \\ &=(x-2)(x^2-x\times 2 +2^2) \\ &=(x-2)(x^2-2x +4) \end{align*} 4(x2−4)=4(x2−22)=4(x−2)(x+2)4(x^2-4)=4(x^2-2^2)=4(x-2)(x+2) −3x+6=−3(x−2)-3x+6=-3(x-2)

on voit que le facteur commun est (x−2)(x-2)

Donc

A=(x−2)(x2+2x+4+4(x+2)−3)=(x−2)(x2+6x+9)=(x−2)(x+3)2\begin{align*} A&=(x-2)(x^2+2x+4+4(x+2)-3) \\ &=(x-2)(x^2+6x+9) \\ &=(x-2)(x+3)^2 \end{align*}

  • Pour B

  • x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

  • 2(x2−1)=2(x−1)(x+1)2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)

on voit que le facteur commun est (x+1)(x+1)

Donc

B=(x+1)(x2−x+1+2(x−1)−1)=(x+1)(x2+x−2)=(x+1)(x2−1+x−1)=(x+1)((x−1)(x+1)+(x−1))=(x+1)(x−1)(x+1+1)=(x+1)(x−1)(x+2)\begin{align*} B&=(x+1)(x^2-x+1+2(x-1)-1) \\ &=(x+1)(x^2+x-2) \\ &=(x+1)(x^2-1+x-1) \\ &=(x+1)((x-1)(x+1)+(x-1)) \\ &=(x+1)(x-1)(x+1+1) \\ &=(x+1)(x-1)(x+2) \\ \end{align*}