📝 Exercices de la série▼
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Exercice 13

Soient α,β∈R\alpha,\beta \in\R tel que α+β=2\alpha+\beta=2 et α2+β2=8\alpha^2+\beta^2=8

  1. Calculer αβ\alpha\beta
  2. α3+β3\alpha^3+\beta^3, α4+β4\alpha^4+\beta^4 et α6+β6\alpha^6+\beta^6

  1. On a α2+2αβ+β2=(α+β)2\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2

    donc : α2+β2+2αβ=(α+β)2\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2

    et donc : 8+2αβ=228+2\alpha\beta=2^2

    d'où : αβ=−2\alpha\beta=-2

  2. α3+β3=(α+β)(α2+αβ+β2)=(α+β)(α2+β2+αβ)=2(8−2)=12\begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2) \\ &=(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta) \\ &=2(8-2) \\ &=12 \end{align*} α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2=82−2×(−2)2=56\begin{align*} \alpha^4+\beta^4 &=\left(\alpha^2+\beta^2\right)^2-2(\alpha\beta)^2 \\ &=8^2-2\times(-2)^2 \\ &=56 \end{align*} α6+β6=(α2)3+(α2)3=(α2+β2)(α4+(αβ)2+β4)=8(56+4)=480\begin{align*} \alpha^6+\beta^6 &=\left(\alpha^2\right)^3+\left(\alpha^2\right)^3\\ &=\left(\alpha^2+\beta^2\right)(\alpha^4+(\alpha\beta)^2+\beta^4) \\ &=8(56+4)\\ &=480 \end{align*}