Nombres Complexes 2

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 2

Exercice 23

On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$ , les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d’affixes respectives :
$a = 2 + i$ , $b = 2 - i$ , $c = i$ , et $d = -i$

Soit $z$ l’affixe d’un point $M$ du plan, et $z'$ l’affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $\Omega(1)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

Montrer que $z' = iz + 1 - i$
Vérifier que $R(A) = C$ et $R(D) = B$
Montrer que les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ appartiennent au même cercle, dont on déterminera le centre.

Correction

Rappel : Si $R$ est une rotation de centre $\Omega(z_{\Omega})$ et d’angle $\theta$ , alors l’image $M'(z')$ d’un point $M(z)$ par $R$ vérifie :
$z'-z_{\Omega}=e^{i\theta}(z-z_{\Omega})$

1/ $\quad$ ici : $z_{\Omega}=1$ et $\theta=\dfrac{\pi}{2}$

\begin{align*} z' &=e^{i\theta}(z-z_{\Omega})+z_{\Omega} \\ &=e^{i\frac{3\pi}{2}}(z-9+i)+9-i\\ &=i(z-1)+1\\ &=iz-i+1 \\ &=iz+1-i \end{align*}

$\bullet\quad$ Posons $R(A)=A'$

Donc :

\begin{align*} a'&=ia+1-i=i(2+i)+1-i\\ &=2i-1+1-i\\ &=i=c \end{align*}

Donc $R(A)=C$

$\bullet\quad$ Posons $R(D)=D'$

Donc :

\begin{align*} d'&=id+1-i=i(-i)+1-i\\ &=1+1-i\\ &=2-i=b \end{align*}

Donc $R(D)=B$

On a $R$ est une rotation de centre $\Omega(1)$ .

Comme $R(A) = C$ , alors :

\Omega A = \Omega C

Et comme $R(D) = B$ , on a également :

\Omega D = \Omega B

Calculons $\Omega A$ et $\Omega D$ :

\begin{align*} \Omega A &= |z_A - z_\Omega| = |2 + i - 1|\\ & = |1 + i| = \sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} \Omega D &= |z_D - z_\Omega| = |-i - 1| \\ &= |-(1 + i)| = \sqrt{2} \end{align*}

Donc :

\Omega A = \Omega C = \Omega D = \Omega B = \sqrt{2}

Conclusion : les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ appartiennent tous au cercle de centre $\Omega(1)$ et de rayon $\sqrt{2}$ .