Nombres Complexes 2

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 2

Exercice 21

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ , considèrons les points $A$ , $B$ et $\Omega$ d’affixes respectives : $a=1+i$ , $b=2$ et $\omega=2i$ et soit $h$ l’homothétie de centre $\Omega$ et qui transforme $A$ en $B$

Déterminer $k$ le rapport de l’homothétie $h$
Déterminer $c$ l’affixe du point $C$ tel que $A$ est l’image de $C$ par $h$

Correction

a=1+i,\quad b=2\quad \text{et}\quad \omega=2i

Rappel : Si $h$ est une homothétie de centre $\Omega(z_{\Omega})$ et de rapport $k$ , alors l’image $M'(z')$ d’un point $M(z)$ par $h$ vérifie :
$z'-z_{\Omega}=k(z-z_{\Omega})$

1/ ici $z_{\Omega}=\omega$

z' - \omega = k(z - \omega)

on a , $h(A) = B$ , donc :

b - \omega = k(a - \omega)

\begin{align*} \implies k&=\dfrac{b-\omega}{a - \omega} =\dfrac{2-2i}{1-i}\\&=\dfrac{2(1-i)}{1-i}=2 \end{align*}

On cherche $c$ tel que $h(C) = A$ , donc :

a - \omega = k(c - \omega)

On remplace par les affixes :

1 + i - 2i = 2(c - 2i) \\ 1 - i = 2(c - 2i)

On isole $c$ :

\begin{align*} c - 2i &= \frac{1 - i}{2} \\ c &= \frac{1 - i}{2} + 2i \\&= \frac{1 - i + 4i}{2} = \frac{1 + 3i}{2} \end{align*}