Nombres Complexes 2

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 2

Exercice 18

A/ Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ ,
considérons les points $A$ , $B$ et $C$ d’affixes respectives :
$a = 3 + 5i$ , $b = 3 - 5i$ et $c = 7 + 3i$ .

Soit $M'(z')$ l’image du point $M(z)$ par la translation de vecteur $\vec{w}$ d’affixe $4 - 2i$ .

Montrer que $z' = z + 4 - 2i$
Montrer que le point $C$ est l’image de $A$ par cette translation.

B/ Soit l’homothétie $h$ de centre $\Omega(3, -2)$ et de rapport $k = 4$ .
Soit $z$ l’affixe du point $M$ et $z'$ l’affixe du point $M'$ image de $M$ par l’homothétie $h$ .
Considérons le point $A$ d’affixe $z_A = 3 + 5i$ .

Montrer que $z' = 4z - 9 + 6i$
Déterminer l’affixe du point $A'$ image de $A$ par l’homothétie $h$ .

C/ Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ ,
considérons les points $A$ et $B$ d’affixes respectives :

$a = 4 - 4i\sqrt{3}$
$b = 8$

Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$ .

Le point $M'$ d’affixe $z'$ est l’image du point $M$ d’affixe $z$ par la rotation $R$ .

Exprimer $z'$ en fonction de $z$
Vérifier que $B$ est l’image du point $A$ par la rotation $R$
En déduire la nature du triangle $OAB$

Correction

Partie A

\begin{align*} \overrightarrow{MM'} = \vec{w} &\iff z' - z = z_{\vec{w}} \\ &\iff z' = z + z_{\vec{w}} \\ &\iff z' = z + 4 - 2i \end{align*}

2/ Appliquons la translation à $A$ :

Soit $A'(a')$ l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{w}$

\begin{align*} z_{A'}&=z_A+4-2i\\ a'&= a + (4 - 2i) \\ &= (3 + 5i) + (4 - 2i) \\ &= 7 + 3i = c \end{align*}

On voit que $a' = c$ .
Donc, $C$ est bien l’image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{w}$ d’affixe $4 - 2i$ .

Partie B

1/ L’homothétie $h$ de centre $\Omega(3 - 2i)$ transforme un point $M$ d’affixe $z$ en un point $M'$ d’affixe $z'$ tel que :

z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)

et on a : $z_\Omega = 3 - 2i$ et $k = 4$ , donc :

\begin{aligned} z' &= 4(z - (3 - 2i)) + (3 - 2i) \\ &= 4z - 12 + 8i + 3 - 2i \\ &= 4z - 9 + 6i \end{aligned}

2. Le point $A$ a pour affixe $z_A = 3 + 5i$ . Appliquons l’homothétie $h$ à $A$ :

\begin{aligned} z_{A'} &= 4(z_A - (3 - 2i)) + (3 - 2i) \\ &= 4(3 + 5i - 3 + 2i) + 3 - 2i \\ &= 4(7i) + 3 - 2i \\ &= 28i + 3 - 2i \\ &= 3 + 26i \end{aligned}

Donc, l’affixe du point $A'$ est $z_{A'} = 3 + 26i$

Partie C

1/ Expression de $z'$

La rotation $R$ est de centre $O$ (d’affixe $0$ ) et d’angle $\frac{\pi}{3}$ , donc :

\begin{align*} z' -0= z e^{i\frac{\pi}{3}}-0 &\iff z' = z\left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) \\&\iff z'= z\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{align*}

2/ $B$ est l’image de $A$ ?

Affixe de $A$ : $a = 4 - 4i\sqrt{3}$
Affixe de $B$ : $b = 8$

supposons que $A'(a')$ l’image de $A$ par la rotation $R$ donc :

\begin{align*} z_{A'}&=z_A\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ &=(4 - 4i\sqrt{3})\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &=2+2i\sqrt3-2i\sqrt3-2i^2\sqrt3^2 \\ &=2+6=8 \end{align*}

Cela donne bien $b = 8$ à la fin, donc l’affixe de $B$ est l’image de $A$ .

3. Nature du triangle $OAB$

On a que $B$ est l’image de $A$ par la rotation $R$ de centre $O$ , donc les longueurs sont conservées : $OA = OB$

De plus, l’angle de rotation est $\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ$ ,
donc : $\widehat{OAB} = 60^\circ$

Ainsi, le triangle $OAB$ a deux côtés égaux ( $OA = OB$ ) et un angle de $60^\circ$ entre eux,
ce qui implique que :
le triangle $OAB$ est équilatéral.